Построение начального опорного плана. Симплексный метод решения злп

Симплекс-метод решения задач линейного программирования

Симплексный метод – это аналитический метод решения ЗЛП, реализующий алгоритм графического метода аналитически, без построения чертежа.

Таким образом, суть симплексного метода состоит в направленном переборе допустимых решений, при котором значение целевой функции на каждом шаге лучше, чем на предыдущем. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет получено оптимальное по значению целевой функции решение.

Симплекс метод может использоваться для решения ЗЛП с любым количеством неизвестных.

Техническая реализация симплексного метода связана с решением систем линейных уравнений, для чего используют метод Гаусса, разработаны табличные формы и правила преобразования симплексных таблиц.

Симплекс-метод с естественным базисом применяется, если ЗЛП задана в канонической форме записи, и матрица в КЗЛП содержит единичную подматрицу размером m´m . Для определённости положим, что первые m векторов матрицы системы уравнений составляют единичную матрицу. Тогда первоначальный план выбирается следующим образом:

Проверка на оптимальность опорного плана проходит с помощью признака оптимальности, переход к другому плану проводится с помощью преобразования Жордана-Гаусса при использовании математического признака оптимальности. Полученный опорный план снова проверяется на оптимальность и т.д.

Математический признак оптимальности состоит из следующих двух теорем:

1. Если для всех векторов A 1 , A 2 , … , A n выполняется условие , где , то полученный опорный план является оптимальным. В сумме для определения Z j участвуют m слагаемых, то есть в ней участвуют не все коэффициенты целевой функции c j , а лишь с номерами соответствующими номерам текущих базисных векторов A i , количество которых равно m .

2. Если для некоторого вектора, не входящего в базис, выполняется условие , то следует искать новый опорный план, для которого значение ЦФ больше, чем для текущего. При этом возможны два случая:

а) если все компоненты вектора A k , подлежащего вводу в базис, неположительны, то ЗЛП не имеет решения (конечного оптимума нет);

б) если имеется хотя бы одна положительная компонента у вектора A k , подлежащего ввода в базис, то можно получить новый опорный план.

На основании признака оптимальности в базис вводится вектор A k , давший минимальную отрицательную величину симплекс-разности:

Чтобы выполнялось условие неотрицательности значений опорного плана, выводится из базиса вектор A r , который даёт минимальное положительное оценочное отношение

Строка A r , в которой находился старый базисный вектор, называется направляющей, столбец A k и элемент a rk - направляющими.

Элементы направляющей строки в новой симплекс-таблице вычисляются по формулам:

а элементы любой другой i -й строки - по формулам:

Значения нового опорного плана рассчитываются по аналогичным формулам:

,

Процесс продолжают либо до получения оптимального плана, либо до установления неограниченности ЦФ. Если среди разностей Δ j , j=1, 2, … , n оптимального плана нулевыми являются только разности, соответствующие базисным векторам, то это говорит о единственности оптимального плана. Если же нулевая оценка соответствует вектору, не входящему в базис, то в общем случае это означает, что оптимальный план не единственный.

Пример. Решить ЗЛП по модели:

найти ,

при ограничениях

Эта ЗЛП сводится к каноническому виду путём введения дополнительных переменных x 3 и x 4 :

КЗЛП имеет необходимое количество (два) нулевых столбцов при x 3 и x 4 , то есть обладает очевидным начальным опорным планом (0,0,300,150).

Решение осуществляется симплекс-методом с естественным базисом с оформлением расчётов в симплекс-таблицах:

Остановимся подробнее на заполнении симплекс-таблиц и, соответственно, получении решения КЗЛП.

В верхнюю строку общей таблицы внесены коэффициенты c j , j=1, 2, 3, 4 при переменных в ЦФ. В первые две строки нулевой симплекс-таблицы внесены вектор-столбцы B, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , соответствующие векторной форме записи КЗЛП. Поскольку исходным базисом является пара векторов A 3 , A 4 , они внесены в колонку под названием “Базис” нулевой симплекс-таблицы. При этом, A 3 внесён в первую строку, что определяется единицей, являющейся первым элементов этого вектора, а вектор A 4 - во вторую строку, у этого вектора единица находится во второй строке. В столбец под названием “ c i ” внесены коэффициенты целевой функции, соответствующие базисным векторам A 3 , A 4 , то есть c 3 , c 4 . Они оба равны нулю. Далее вычисляются значения разностей Δ для векторов B, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 и заносятся в третью строку нулевой таблицы. Для вектора A 1 :

для вектора :

Аналогично , .

Для вектора B вычисление разности несколько упрощается, поскольку ему нет соответствующего коэффициента c j , j=1, 2, 3, 4 в ЦФ:

Не для всех векторов A 1 , A 2 , A 3 , A 4 полученные разности являются неотрицательными, поэтому выбранный нами опорный план не является оптимальным. Нам необходимо искать новый опорный план, а для этого нужно заменить один из входящих в базис векторов A 3 , A 4 .

Для определения вектора, который мы должны ввести, ищем вектор, для которого значение разности получилось минимальным. Таким является вектор, A 2 , ему соответствует минимальное значение разности: -3. То есть индекс k из формулы (8.4) равен 2. Для определения вектора, который мы должны будем вывести из базиса, вычисляем значения Q для каждой строки по формуле (8.5) и вносим их в последнюю колонку. В данном случае в каждой строке мы должны величину элемента вектора B разделить на величину элемента вектора A 2 . В первой строке получим 300/3=100, во второй: 150/1=150. Меньше получилось отношение в первой строке, ей соответствовал базисный вектор A 3 , следовательно, индекс r в формуле (8.5) равен 1, a rk =3 (выделен в таблице рамкой), а выводить из базиса мы будем вектор A 3 (обозначено в таблице стрелкой).

Поскольку среди элементов вектора A 2 , который должен быть введён в базис, имеются положительные, то можно получить новый опорный план и решение следует продолжить.

После этого заполняется вторая симплекс-таблица. Для перерасчёта элементов векторов B, A 1 , A 2 , A 3 , A 4 используются формулы (8.6)-(8.8). Они несколько отличаются для определения элементов направляющей строки (в нашем случае первая) и для определения элементов прочих строк. Распишем вычисления нескольких элементов:

Другие элементы первой симплекс-таблицы вычисляются аналогично тому, как мы это делали для нулевой таблицы. Поскольку не все разности в первой симплекс-таблице неотрицательны, возникает необходимость продолжить расчёты.

Как мы видим, в результате расчётов во второй симплекс-таблице с базисными векторами A 2 , A 1 все разности получились неотрицательные, что означает достижение оптимального плана (75; 75; 0; 0). Симплекс-разность для вектора В равна искомому максимальному значению ЦФ - 375.

Теорема (о конечности симплекс-алгоритма). Если существует оптимальное решение ЗЛП, то существует и базисное оптимальное решение. Последнее всегда может быть получено с помощью симплекс-метода, причём начинать можно с любого исходного базиса.

123 страницы (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Фрагмент текста работы

Переход от одного опорного плана к другому, значение целевой функции в котором больше, чем в предыдущем.

3. Проверка оптимальности полученного плана, позволяющая своевременно остановить перебор опорных планов или сделать вывод об отсутствии оптимального плана.

Симплекс - метод основан на следующих теоремах, которые приводятся без доказательства.

Теорема 1.2 (о существовании опорного плана)

Если линейная форма ограничена сверху на непустом множестве D, то ЗЛП разрешима, то есть существует такая точка , что .

Теорема 1.3 (признак оптимальности опорного плана)

Опорный план задачи (1.18) является оптимальным, если для всех j , выполняется, где величина

(1.21)

называется симплекс – разностью или оценкой .

Теорема 1.4 (признак отсутствия оптимального плана)

Если при некотором k и среди чисел , нет положительных, т.е. все , целевая функция задачи не ограничена на множестве допустимых решений и не имеет конечного решения.

Теорема 1.5 (признак существования лучшего опорного плана)

Если опорный план задачи (1.18) не вырожден и для некоторых k, но среди чисел , есть хоты бы одно положительное, т.е. не все , то существует опорный план , в котором целевая функция принимает значение не меньше, чем в предыдущем плане: .

Алгоритм симплекс-метода

1. Задача должна быть приведена к каноническому виду. Система ограничений приведена к единичному базису, т.е. разрешена относительно некоторых базисных переменных (не умоляя общности, будем считать, что относительно первых m переменных) с помощью метода Жордана – Гаусса (система (1.19)). Получено соответствующее исходное опорное решение .

2. Для удобства ведения вычислений записываем все в симплекс-таблицу (табл. 1.1). Столбец «Базис» содержит список базисных переменных; следующий столбец «c j базиса» содержит коэффициенты целевой функции при базисных переменных; следующие столбцы содержат коэффициенты системы ограничений при соответствующих переменных; столбец «b i » - столбец свободных членов системы ограничений. Последняя строка содержит симплекс – разности, рассчитанные по формуле (1.21) и последняя ячейка содержит значение целевой функции =. Отметим, что симплекс – разности базисных переменных всегда равны нулю.

Таблица 1.1

3. Если все симплекс – разности неотрицательны, т.е. , то опорный план оптимален.

4. Если хотя бы одна симплекс – разность отрицательна, , и в соответствующем столбце нет положительных элементов, то задача не имеет оптимального решения, т.е. .

5. Если хотя бы одна симплекс – разность отрицательна, , и в каждом столбце, имеющем отрицательную оценку, есть хотя бы один положительный элемент, то полученный опорный план можно улучшить.

6. Выбираем разрешающий столбец «р», которому соответствует наименьшая отрицательная оценка.

7. Выбираем разрешающую строку «к», которой соответствует наименьшее из отношений правых частей к соответствующим положительным элементам разрешающего столбца . Элемент, стоящий на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки называется разрешающим элементом .

8. Переходим к новой симплекс – таблице, в которой будет новый базис: базисная переменная на «к» - ом месте в старом базисе меняется на новую переменную . Соответствующий вектор новой базисной переменной нужно превратить в единичный. Для этого разрешающую строку делим на , чтобы на месте разрешающего элемента появилась единица. Умножая разрешающую строку на подходящие числа и складывая её с остальными строками получаем нули в разрешающем столбце. После этого выписываем новый опорный план и пересчитываем строчку оценок. Переходим к пункту 3.

Замечание об альтернативном плане.

Если все оценки свободных переменных в последней симплекс – таблице окажутся строго больше нуля, то оптимальный план единственен. В случае если хотя бы одна оценка при свободной переменной окажется равной нулю, то имеет место альтернативный оптимум (множество оптимальных планов). Чтобы найти альтернативное решение, необходимо сделать один шаг симплекс-метода, выбрав в качестве разрешающего столбец свободной переменной, которому соответствует нулевая оценка.

В этом случае множество все оптимальных планов можно представить в виде выпуклой линейной комбинации опорных оптимальных планов:, где .

Пример 5. Решить ЗЛП симплекс-методом:

(1.22)

Приводим систему линейных неравенств (1.22) к каноническому виду, вводя в каждое неравенство дополнительную неотрицательную переменную. Получим систему линейных уравнений:

(1.23)

Целевая функция будет иметь вид

Составляем симплекс – таблицу:

Таблица 1.2

Опорный план не является оптимальным, т.к. в строке оценок есть отрицательные элементы = - 3 и = - 2. Выбираем разрешающий столбец – первый, т.к. ему соответствует минимальная из отрицательных оценок = - 3. Для всех положительных элементов первого столбца вычисляем отношение . Находим минимальное из этих отношений: . Оно соответствует второй строке, следовательно, она будет разрешающей. Таким образом, разрешающий элемент показывает, что из базиса выводится переменная x 4 , а вместо неё в базисе будет переменная x 1 . Заполняем новую симплекс – таблицу (табл. 1.3). Для этого превращаем первый столбец в единичный. Умножаем вторую строку на (-1/2) и складываем с первой, записываем результат в первую строку новой симплекс – таблицы; аналогично, умножаем вторую строку на (1/2) и складываем с третьей; разрешающую строку делим на 2; четвертую переписываем без изменений.

Признак оптимальности опорного плана

Если в симплекс-таблице, содержащей некоторый опорный план, все элементы f-строки (не считая свободного члена) неотрицательны, то этот опорный план является оптимальным.. Пусть в f-строке табл. 2.b 0j > (i=1, ..., n m). В опорном плане х 0 , содержащемся в этой таблице, значения всех свободных переменных x m+j равны нулю и f(х 0) =b 00 . Если же увеличивать какую-либо из свободных переменных x m+ j, то, как видно из равенства (2.5), в силу неотрицательности b 0j значение f(х) начнет уменьшаться. Следовательно, при x о функция f(х) достигает наибольшей величины, а значит, х 0 действительно является оптимальным опорным планом.

Возможность переход от одного опорного плана к другому

Как уже говорилось выше, суть симплекс-метода в процессе доказательства следующего признака: если в f-строке симплекс-таблицы, содержащей некоторый опорный план, есть хотя бы один отрицательный элемент (не считая свободного члена), которому соответствует столбец с хотя бы одним положительным элементом, то можно, преобразовав базис, перейти к другому опорному плану с большим значением целевой функции.

Докажем этот признак. Установим правила выбора переменных для такого преобразования начального базиса Б о с опорным планом х 0 в новый базис Б 1 с опорным планом х 1 при котором; значение функции f увеличивается, т. е. f(x i)>f(x 0). Тогда по правилу пересчета элементов из симплекс-таблицы преобразуем к новому базису, что позволит найти компоненты нового опорного плана.

Допустим, что в табл. 2.1, например, b 0s <0, а среди элементов b is s-го столбца есть хотя бы один положительный. Полагая в равенстве (2.5) все свободные переменные х m+j кроме x m+s , равными нулю, получаем f = b oo -- b os xm+s . Из этого равенства видно, что при увеличении x m+s значение f тоже возрастает. Таким образом, при указанных в признаке условиях действительно есть возможность увеличить f(x), переходя к планам, в которых x m+s принимает положительные значения, а все остальные компоненты x m+j по-прежнему равны нулю. Покажем, что среди таких планов существует и опорный. Тем самым будет найден путь направленного преобразования базиса Б о в новый базис Б 1 . В самом деле, если переменная x m+s принимает положительное значение в некотором опорном плане, значит, она является в нем базисной компонентой (в опорном плане x о она была свободной компонентой и равнялась нулю). Поэтому прежний базис следует преобразовать за счет включения в него переменной x m+s . Но здесь предстоит решить два вопроса:

1) какую из переменных следует вывести из прежнего базиса, чтобы освободить место для переменной x m+s ;

2) какое значение должна принимать новая базисная переменная x m+s в новом опорном плане.

Для решения поставленных вопросов допустим, что в равенствах (2.4) все x m+j , кроме x m+s , равны нулю. Тогда

x i = b io -b is x m+s (i=l, ..., m)

Из этих равенств видно, что с возрастанием x m+s значения тех базисных переменных х i для которых коэффициенты b is <0, тоже будут расти, оставаясь положительными. Значит, на отрицательные коэффициенты b is можно внимания не обращать, так как они не влияют на знак базисных переменных. Иначе обстоит дело с базисными переменными, у которых b is >0. С увеличением x m+s значения этих переменных станут уменьшаться, и наступит момент, после которого они будут принимать отрицательные значения и перестанет выполняться условие (2.3). Этого допустить нельзя. Поэтому выясним, до какого предельного значения можно увеличивать x m+s , не нарушая условия неотрицательности базисных переменных. С этой целью выпишем из системы (2.6) те равенства, в которых b is >0. Допустим, что это касается равенств с номерами i=d,…,k,…,p:

x d =b do -- b ds x m+s ,

…………………..

x k =b k0 - b ks x m+s ,

………………….

x p =b p0 - b ps x m+s .

Базисные переменные х d , ..., x k , ..., x p будут оставаться неотрицательными до тех пор, пока x m+s удовлетворяет системе неравенств

b do - b ds x m+s >0, x m+s

……………… ………………

b k0 - b ks x m +s >0 или x m+s < b ko /b ks

……………… ………………

b p0 - b ps x m+s >0 x m+s < b po /b ps

т. е. при x m+s

Пусть наименьшая из дробей b io /b is соответствует i = k, т.е.

min { b io /b is }= b k0 /b ks .

Тогда можно сказать, что пока x m+s не превышает величины b k0 /b ks , т. е. x m+s 0, то переменная х k станет равной пулю: x k = b k0 -- b ks b ko /b ks =0, и тем самым будет произведено преобразование базиса Б о = {х 1 ; ...; x k ; ...; х m } в новый базис, при котором переменная x m+s из группы свободных переходит в базисные, а переменная х k занимает место x m+s в группе свободных. При этом все остальные свободные переменные по-прежнему равны нулю, а остальные базисные переменные по-прежнему положительны. Следовательно, базисный план х 1 в новом базисе Б 1 ={х 1 ; ...; x m+s ; ...; x m } будет иметь m положительных компонент и m-n нулевых. В плане x 1 некоторые базисные переменные могут принять нулевые значения в двух случаях:

1) когда в плане х 0 имеются базисные переменные, равные нулю;

2) когда наименьшая из дробей b io /b is будет соответствовать двум или нескольким номерам i.В нашем же случае она соответствует только i = k.

Переменная, подлежащая включению в базис, определяется отрицательным элементом f-строки. Из равенства f =b oo - b os x m+s ясно, что при b 0s <0 и фиксированном x m+s >0, значение f(х) зависит от абсолютной величины коэффициента b 0s: чем больше |b 0s |, тем большее значение получит f(х) в новом базисе. Но из этого равенства видно также, что значение целевой функции в новом базисе зависит и от величины, принимаемой новой базисной переменной x m+s . Будем выбирать переменную, вводимую в базис, ориентируясь лишь на отрицательные элементы f-строки. Поэтому, когда в f-строке несколько отрицательных элементов, в базис будем вводить переменную x m+j ,соответствующую отрицательному элементу с наибольшей абсолютной величиной. Столбец коэффициентов при переменной, включаемой в базис, называют разрешающим. Таким образом, выбирая переменную, вводимую в базис (или выбирая разрешающий столбец) по отрицательному элементу f-строки, мы обеспечиваем возрастание функции f.

Немного сложней определяется переменная, подлежащая исключению из базиса. Для этого составляют отношения свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца (такие отношения называют симплексными) и находят среди них наименьшее, которое и определяет строку (разрешающую), содержащую исключаемую переменную. Выбор переменной, исключаемой из базиса (или выбор разрешающей строки), по минимальному симплексному отношению гарантирует положительность базисных компонент в новом опорном плане.

Итак, мы доказали, что при указанных в признаке условиях действительно можно перейти от одного опорного плана к другому с большим значением целевой функции f(х).

Отметим, что нам уже известно значение новой базисной переменной x m+s в новом опорном плане: оно равно b ko /b ks . Что же касается численных значений остальных базисных переменных в новом опорном плане и соответствующего значения f(х), то их можно найти лишь после того, как измененная система базисных переменных х 1 ;..., x m+s ; ...,х m будет выражена через измененную систему свободных переменных x m+1 ,…,x k ,…, х n . Для этого установим; правила, по которым осуществляется преобразование условий задачи от одного базиса к другому.

Коэффициент b ks = 0 при x m+s в этом уравнении называют разрешающим элементом. В равенстве (2.7) новая базисная переменная x m+s выражена через свободные переменные, среди которых находится теперь и бывшая базисная переменная х k . Таким образом, переменные x m+s и x k поменялись ролями.

Аналогично выразим через новый набор свободных переменных и остальные базисные переменные. С этой целью значение x m+s из подставим в остальные равенств (обозначим f через x 0 ,тогда равенство будет входить в систему при i= 0)

Приведение системы к новому базису называется симплексным преобразованием. Если симплексное преобразование рассматривать как формальную алгебраическую операцию, то можно заметить, что в результате этой операции происходит перераспределение ролей между двумя переменными, входящими в некоторую систему линейных функций: одна переменная из зависимых переходит в независимые, а другая, наоборот, - из независимых в зависимые. Такая операция известна в алгебре под названием шага жорданова исключения.

Каноническая задача линейного программирования в векторной форме имеет вид:

Положительным координатам допустимых решений ставятся в соответствие векторы условий. Эти системы векторов зависимы, так как число входящих в них векторов больше размерности векторов.

Базисным решением системы называется частное , в котором неосновные переменные имеют нулевые значения. Любая система уравнений имеет конечное число базисных решений, равное , где - число неизвестных, - ранг системы векторов условий. Базисные , координаты которых удовлетворяют условию неотрицательности, являются опорными.

Опорным решением задачи линейного программирования называется такое допустимое , для которого векторы условий, соответствующие положительным координатам , линейно независимы.

Число отличных от нуля координат опорного не может превосходить ранга Системы векторов условий (т. е. числа линейно независимых уравнений системы ограничений).

Если число отличных от нуля координат опорного решения равно , то такое решение называется Невырожденным , в противном случае, если число отличных от нуля координат опорного решения меньше , такое решение называется Вырожденным .

Базисом опорного решения называется базис системы векторов условий задачи, в состав которой входят векторы, соответствующие отличным от нуля координатам опорного решения.

Теорема . Любое опорное решение является угловой точкой области допустимых решений .

Теорема . Любая угловая точка области допустимых решений является опорным решением .

Пример.

Графический метод решения задачи линейной оптимизации рассмотрим на примере задачи производственного планирования при
= 2.

Предприятие изготавливает изделия двух видов А и В. Для производства изделий оно располагает сырьевыми ресурсами трех видов С, D и Е в объемах 600, 480 и 240 единиц соответственно. Нормы расхода ресурсов на единицу продукции каждого вида известны и представлены в табл. 14.1

Решение :

Прибыль от реализации изделия А составляет 40 млн. руб., а изделия В - 50 млн. руб. Требуется найти объемы производства изделий А и В, обеспечивающие максимальную прибыль.

Построим математическую модель задачи, для чего обозначим и - объемы производства изделий А и В соответственно.

Тогда прибыль предприятия от реализации изделий А и изделий В составит:

Ограничения по ресурсам будут иметь вид:

Естественно, объемы производства должны быть неотрицательными .

Решение сформулированной задачи найдем, используя геометрическую интерпретацию. Определим сначала многоугольник решений, для чего систему ограничений неравенств запишем в виде уравнений и пронумеруем их:

Каждое из записанных уравнений представляет собой прямую на плоскости, причем 4-я и 5-я прямые являются координатными осями.

Чтобы построить первую прямую, найдем точки ее пересечения с осями координат: при , а при . Далее нас интересует, по какую сторону от прямой будет находиться полуплоскость, соответствующая первому неравенству. Чтобы определить искомую полуплоскость, возьмем точку и, подставив ее координаты в неравенство, видим, что оно удовлетворяется. Так как точка лежит левее первой прямой, то и полуплоскость будет находиться левее прямой . На рис. 14.1 расположение полуплоскости относительно первой прямой отмечено стрелками.

Аналогично построены 2-я и 3-я прямые и найдены полуплоскости, соответствующие 2-му и 3-му неравенству. Точки, удовлетворяющие ограничениям , находятся в первом квадранте.

Множество точек, удовлетворяющих всем ограничениям одновременно, является ОДР системы ограничений. Такой областью на графике (рис. 14.1) является многоугольник .

Любая точка многоугольника решений удовлетворяет системе ограничений задачи и, следовательно, является ее решением. Это говорит о том, что эта задача линейной оптимизации имеет множество допустимых решений, т. е. многовариантна. Нам же необходимо найти решение, обеспечивающее максимальную прибыль.

Чтобы найти эту точку, приравняем функцию к нулю и построим соответствующую ей прямую. Вектор-градиент прямой функции имеет координаты .

Рис. 14.1

Изобразим вектор на графике и построим прямую функции перпендикулярно вектору на рис. 14.1. Перемещая прямую функции параллельно самой себе в направлении вектора, видим, что последней точкой многоугольника решений, которую пересечет прямая функции, является угловая точка В. Следовательно, в точке В функция достигает максимального значения. Координаты точки В находим, решая систему уравнений, прямые которых пересекаются в данной точке.

Решив эту систему, получаем, что .

Следовательно, если предприятие изготовит изделия в найденных объемах, то получит максимальную прибыль, равную:

(млн. руб.).

Алгоритм решения задачи линейного программирования графическим методом таков:

1. Строится область допустимых решений;

2. Строится вектор нормали к линии уровня с точкой приложении в начале координат;

3. Перпендикулярно вектору нормали проводится одна из линий уровня, проходящая через начало координат;

4. Линия уровня перемещается до положения опорной прямой. На этой прямой и будут находиться максимум или минимум функции.

В зависимости от вида области допустимых решений и целевой функции задача может иметь единственное решение, бесконечное множество решений или не иметь ни одного оптимального решения.

На рис. 14.3 показан случай, когда прямая функции параллельна отрезку АВ, принадлежащему ОДР. Максимум функции достигается в точке А и в точке В, а, следовательно, и в любой точке отрезка АВ, т. к. эти точки могут быть выражены в виде линейной комбинации угловых точек А и В.

Основные понятия симплексного метода решения задачи линейного программирования.

Среди универсальных методов решения линейного программирования наиболее распространен симплексный метод (или симплекс-метод), разработанный американским ученым Дж. Данцигом. Суть этого метода заключается в том, что вначале получают допустимый вариант, удовлетворяющий всем ограничениям, но необязательно оптимальный (так называемое начальное опорное решение); оптимальность достигается последовательным улучшением исходного варианта за определенное число этапов (итераций). Нахождение начального опорного решения и переход к следующему опорному решению проводятся на основе применения рассмотренного выше метода Жордана-Гаусса для системы линейных уравнений в канонической форме, в которой должна быть предварительно записана исходная задача линейного программирования; направление перехода от одного опорного решения к другому выбирается при этом на основе критерия оптимальности (целевой функции) исходной задачи.

Симплекс-метод основан на следующих свойствах задачи линейного программирования:

· Не существует локального экстремума, отличного от глобального. Другими словами, если экстремум есть, то он единственный.

· Множество всех планов задачи линейного программирования выпукло.

· Целевая функция ЗЛП достигает своего максимального (минимального) значения в угловой точке многогранника решений (в его вершине). Если целевая функция принимает свое оптимальное значение более чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

· Каждой угловой точке многогранника решений отвечает опорный план ЗЛП.

Рассмотрим две разновидности симплексного метода: симплекс-метод с естественным базисом и симплекс-метод с искусственным базисом (или М-метод).

Симплекс-метод с естественным базисом

Для применения этого метода задача линейного программирования должна быть сформулирована в канонической форме, причем матрица системы уравнений должна содержать единичную подматрицу размерностью . В этом случае очевиден начальный опорный план (неотрицательное базисное решение).

Для определенности предположим, что первые Т Векторов матрицы системы составляют единичную матрицу. Тогда очевиден первоначальный опорный план: .

Проверка на оптимальность опорного плана проходит с помощью критерия оптимальности, переход к другому опорному плану — с помощью преобразований Жордана-Гаусса и с использованием критерия оптимальности.

Полученный опорный план снова проверяется на оптимальность и т. д. Процесс заканчивается за конечное число шагов, причем на последнем шаге либо выявляется неразрешимость задачи (конечного оптимума нет), либо получаются оптимальный опорный план и соответствующее ему оптимальное значение целевой функции.

Признак оптимальности заключается в следующих двух теоремах.

Теорема 1. Если для некоторого вектора, не входящего в базис, выполняется условие:

, где ,

То можно получить новый опорный план, для которого значение целевой функции будет больше исходного; при этом могут быть два случая:

1. Если все координаты вектора, подлежащего вводу в базис, неположительны, то задача линейного программирования не имеет решения;

2. Если имеется хотя бы одна положительная координата у вектора, подлежащего вводу в базис, то можно получить новый опорный план.

Теорема 2. Если для всех векторов выполняется условие , то полученный план является оптимальным.

На основании признака оптимальности в базис вводится вектор , давший минимальную отрицательную величину симплекс-разности: .

Чтобы выполнялось условие неотрицательности значений опорного плана, выводится из базиса вектор Г, Который дает минимальное положительное отношение:

; , .

Строка Называется Направляющей , Столбец и элемент
— Направляющими (последний называют также Разрешающим Элементом).

Элементы вводимой строки, соответствующей направляющей строке, в новой симплекс-таблице вычисляются по формулам:

А элементы любой другой -й Строки пересчитываются по формулам:

,,

Значения базисных переменных нового опорного плана (показатели графы «план») рассчитываются по формулам:

Для ; , для .

Если наименьшее значение достигается для нескольких базисных векторов, то чтобы исключить возможность зацикливания (повторения базиса), можно применить следующий способ.

Вычисляются частные, полученные от деления всех элементов строк, давших одинаковое минимальное значение на свои направляющие элементы. Полученные частные сопоставляются по столбцам слева направо, при этом учитываются и нулевые, и отрицательные значения. В процессе просмотра отбрасываются строки, в которых имеются большие отношения, и из базиса выводится вектор, соответствующий строке, в которой раньше обнаружится меньшее частное.

Для использования приведенной выше процедуры симплекс-метода к минимизации линейной формы следует искать максимум функции , затем полученный максимум взять с противоположным знаком. Это и будет искомый минимум исходной задачи линейного программирования.

Симплексный метод с искусственным базисом (М-метод)

Симплексный метод с искусственным базисом применяется в тех случаях, когда затруднительно найти первоначальный опорный план исходной задачи линейного программирования, записанной в канонической форме.

М -метод заключается в применении правил симплекс-метода к так называемой М-задаче . Она получается из исходной добавлением к левой части системы уравнений в канонической форме исходной задачи линейного программирования таких искусственных единичных векторов с соответствующими неотрицательными искусственными переменными, чтобы вновь полученная матрица содержала систему единичных линейно-независимых векторов. В линейную форму исходной задачи добавляется в случае её максимизации слагаемое, представляющее собой произведение числа (-М ) на сумму искусственных переменных, где М - достаточно большое положительное число.

В полученной задаче первоначальный опорный план очевиден. При применении к этой задаче симплекс-метода оценки теперь будут зависеть от числа М . Для сравнения оценок нужно помнить, что М - достаточно большое положительное число, поэтому из базиса будут выводиться в первую очередь искусственные переменные.

В процессе решения М- Задачи следует вычеркивать в симплекс-таблице искусственные векторы по мере их выхода из базиса. Если все искусственные векторы вышли из базиса, то получаем исходную задачу. Если оптимальное решение М- Задачи содержит искусственные векторы или М- Задача неразрешима, то исходная задача также неразрешима.

Путем преобразований число вводимых переменных, составляющих искусственный базис, может быть уменьшено до одной.