Lekcija "Koncept monoma. Standardni oblik monoma" Metodički razvoj u algebri na temu. Pojam monoma i njegov standardni oblik Primjeri svođenja monoma na standardni oblik

Početne informacije o monomima sadrže pojašnjenje da se svaki monom može svesti na standardni oblik. U materijalu u nastavku razmotrit ćemo ovo pitanje detaljnije: naznačit ćemo značenje ove akcije, odredit ćemo korake koji nam omogućavaju da postavimo standardni oblik monoma, a također ćemo konsolidirati teoriju rješavanjem primjera .

Značenje redukcije monoma na standardni oblik

Pisanje monoma u standardnom obliku čini rad s njim praktičnijim. Često se monomi daju u nestandardnom obliku i tada postaje neophodno izvršiti identične transformacije da bi se dati monom doveo u standardni oblik.

Definicija 1

Redukcija monoma na standardni oblik je izvođenje odgovarajućih radnji (identičnih transformacija) sa monomom kako bi se to zapisalo u standardnom obliku.

Metoda svođenja monoma na standardni oblik

Iz definicije proizlazi da je monom nestandardnog oblika proizvod brojeva, varijabli i njihovih potencija, a njihovo ponavljanje je moguće. Zauzvrat, monom standardnog oblika sadrži u svojoj notaciji samo jedan broj i neponavljajuće varijable ili njihove stepene.

Da biste pretvorili nestandardni monom u standardni oblik, morate koristiti sljedeće pravilo za svođenje monoma na standardni oblik:

• prvi korak je grupisanje brojčanih faktora, istih varijabli i njihovih stupnjeva;
• drugi korak je izračunavanje proizvoda brojeva i primjena svojstva potencija sa istim bazama.

Primjeri i njihovo rješenje

Dat je monom 3 x 2 x 2 . Potrebno ga je dovesti u standardnu ​​formu.

Rješenje

Izvršimo grupiranje brojčanih faktora i faktora sa varijablom x, kao rezultat, dati će monom poprimiti oblik: (3 2) (x x 2) .

Proizvod u zagradama je 6 . Primjenjujući pravilo množenja potencija sa istim osnovama, izraz u zagradama može se predstaviti kao: x 1 + 2 = x 3. Kao rezultat, dobijamo monom standardnog oblika: 6 · x 3 .

Kratak zapis rješenja izgleda ovako: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3 .

odgovor: 3 x 2 x 2 = 6 x 3 .

Primjer 2

Dat je monom: a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b . Potrebno ga je dovesti u standardni oblik i odrediti njegov koeficijent.

Rješenje

dati monom ima jedan brojčani faktor u svojoj notaciji: - 1, pomjerimo ga na početak. Zatim ćemo grupirati faktore sa varijablom a i faktore sa varijablom b. Varijablu m nema s čime grupirati, ostavljamo je u izvornom obliku. Kao rezultat gore navedenih radnji, dobijamo: - 1 a 5 a a 2 b 2 b m .

Izvodimo operacije sa stepenima u zagradama, tada će monom poprimiti standardni oblik: (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1) a 8 b 3 m . Iz ovog unosa lako možemo odrediti koeficijent monoma: on je jednak - 1. Sasvim je moguće zamijeniti jedan minus jednostavno znakom minus: (- 1) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m .

Sažetak svih akcija izgleda ovako:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

odgovor:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = - a 8 b 3 m , koeficijent datog monoma je - 1 .

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Monom je izraz koji je proizvod dva ili više faktora, od kojih je svaki broj izražen slovom, znamenkama ili stepenom (sa nenegativnim cijelim eksponentom):

2a, a 3 x, 4abc, -7x

Pošto se proizvod identičnih faktora može zapisati kao stepen, onda je jedan stepen (sa nenegativnim celobrojnim eksponentom) takođe monom:

(-4) 3 , x 5 ,

Budući da se broj (cijeli ili razlomak), izražen slovom ili brojevima, može napisati kao umnožak ovog broja na jedan, onda se bilo koji pojedinačni broj također može smatrati monomom:

x, 16, -a,

Standardni oblik monoma

Standardni oblik monoma- ovo je monom, koji ima samo jedan brojčani faktor, koji se mora napisati na prvom mjestu. Sve varijable su po abecednom redu i sadržane su u monomu samo jednom.

Brojevi, varijable i stepeni varijabli takođe se odnose na monome standardnog oblika:

7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - monomi standardnog oblika.

Numerički faktor monoma standardnog oblika naziva se monomski koeficijent. Monomski koeficijenti jednaki 1 i -1 obično se ne pišu.

Ako u monomu standardnog oblika nema numeričkog faktora, tada se pretpostavlja da je koeficijent monoma 1:

x 3 = 1 x 3

Ako u monomu standardnog oblika nema numeričkog faktora i prethodi mu znak minus, tada se pretpostavlja da je koeficijent monoma -1:

-x 3 = -1 x 3

Redukcija monoma na standardni oblik

Da biste monom doveli u standardni oblik, trebate:

1. Pomnožite brojčane faktore, ako ih ima nekoliko. Podignite brojčani faktor na stepen ako ima eksponent. Stavite množitelj brojeva na prvo mjesto.
2. Pomnožite sve identične varijable tako da se svaka varijabla pojavi samo jednom u monomu.
3. Rasporedite varijable nakon numeričkog faktora po abecednom redu.

Primjer. Izrazite monom u standardnom obliku:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 bc 0.5 ab 3

Rješenje:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 x= 3 (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
b) 6 bc 0.5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

Stepen monoma

Stepen monoma je zbir eksponenata svih slova u njemu.

Ako je monom broj, odnosno ne sadrži varijable, onda se njegov stepen smatra jednakim nuli. Na primjer:

5, -7, 21 - monomi nultog stepena.

Stoga, da biste pronašli stepen monoma, morate odrediti eksponent svakog od slova uključenih u njega i dodati ove eksponente. Ako eksponent slova nije naveden, onda je jednak jedan.

primjeri:

Pa kako si x eksponent nije specificiran, što znači da je jednak 1. Monom ne sadrži druge varijable, što znači da je njegov stepen jednak 1.

Monom sadrži samo jednu varijablu u drugom stepenu, pa je stepen ovog monoma 2.

3) ab 3 c 2 d

Indeks a je jednak 1, indikator b- 3, indikator c- 2, indikator d- 1. Stepen ovog monoma je jednak zbiru ovih pokazatelja.

U ovoj lekciji ćemo dati striktnu definiciju monoma, razmotriti različite primjere iz udžbenika. Prisjetite se pravila za množenje potencija sa istom osnovom. Dajemo definiciju standardnog oblika monoma, koeficijenta monoma i njegovog literalnog dijela. Razmotrimo dvije osnovne tipične operacije nad monomima, a to su svođenje na standardni oblik i izračunavanje specifične numeričke vrijednosti monoma za date vrijednosti literalnih varijabli uključenih u njega. Formulirajmo pravilo za svođenje monoma na standardni oblik. Naučimo kako riješiti tipične probleme s bilo kojim monomom.

Tema:monomi. Aritmetičke operacije nad monomima

lekcija:Koncept monoma. Standardni oblik monoma

Razmotrite neke primjere:

3. ;

Nađimo zajedničke karakteristike za date izraze. U sva tri slučaja, izraz je proizvod brojeva i varijabli podignutih na stepen. Na osnovu ovoga dajemo definicija monoma : monom je algebarski izraz koji se sastoji od proizvoda stepena i brojeva.

Sada dajemo primjere izraza koji nisu monomi:

Nađimo razliku između ovih izraza i prethodnih. Sastoji se u tome da u primjerima 4-7 postoje operacije sabiranja, oduzimanja ili dijeljenja, dok u primjerima 1-3, koji su monomi, ove operacije nisu.

Evo još nekoliko primjera:

Izraz broj 8 je monom, jer je proizvod stepena i broja, dok primjer 9 nije monom.

Sad hajde da saznamo akcije na monome .

1. Pojednostavljenje. Razmotrite primjer #3 ;i primjer #2 /

U drugom primjeru vidimo samo jedan koeficijent - , svaka varijabla se javlja samo jednom, odnosno varijabla " a” je predstavljen u jednoj instanci, kao “”, slično tome, varijable “” i “” se pojavljuju samo jednom.

U primjeru br. 3, naprotiv, postoje dva različita koeficijenta - i , vidimo varijablu "" dva puta - kao "" i kao "", shodno tome, varijabla "" se pojavljuje dva puta. Odnosno, ovaj izraz treba pojednostaviti, tako da dolazimo do toga prva radnja koja se izvodi na monomima je dovođenje monoma u standardni oblik . Da bismo to učinili, dovodimo izraz iz primjera 3 u standardni oblik, zatim definiramo ovu operaciju i učimo kako dovesti bilo koji monom u standardni oblik.

Zato razmotrite primjer:

Prvi korak u operaciji standardizacije je uvijek množenje svih numeričkih faktora:

;

Rezultat ove akcije će biti pozvan monomski koeficijent .

Zatim morate pomnožiti stepene. Množimo stepene varijable " X”prema pravilu za množenje stepena sa istom osnovom, koje kaže da se eksponenti kada se množe sabiraju:

Sada pomnožimo moći at»:

;

Dakle, evo pojednostavljenog izraza:

;

Svaki monom se može svesti na standardni oblik. Hajde da formulišemo pravilo standardizacije :

Pomnožite sve numeričke faktore;

Stavite rezultirajući koeficijent na prvo mjesto;

Pomnožite sve stepene, odnosno dobijete dio slova;

To jest, svaki monom karakterizira koeficijent i dio slova. Gledajući unaprijed, primjećujemo da se monomi koji imaju isti dio slova nazivaju sličnima.

Sada treba da zaradite tehnika svođenja monoma na standardni oblik . Razmotrimo primjere iz udžbenika:

Zadatak: dovesti monom u standardni oblik, imenovati koeficijent i slovni dio.

Da bismo izvršili zadatak, koristimo pravilo dovođenja monoma u standardni oblik i svojstva stupnjeva.

1. ;

3. ;

Komentari na prvi primjer: Za početak, utvrdimo da li je ovaj izraz zaista monom, za to provjeravamo da li sadrži operacije množenja brojeva i stepena i da li sadrži operacije sabiranja, oduzimanja ili dijeljenja. Možemo reći da je ovaj izraz monom, jer je gornji uslov zadovoljen. Nadalje, prema pravilu dovođenja monoma u standardni oblik, množimo numeričke faktore:

- našli smo koeficijent datog monoma;

; ; ; odnosno prima se doslovni dio izraza:;

zapišite odgovor: ;

Komentari na drugi primjer: Prateći pravilo, izvršavamo:

1) pomnožiti numeričke faktore:

2) pomnožiti potencije:

Varijable i predstavljene su u jednom primjerku, odnosno ne mogu se množiti ni sa čim, prepisuju se bez promjena, stepen se množi:

napiši odgovor:

;

U ovom primjeru, monomski koeficijent je jednak jedan, a literalni dio je .

Komentari na treći primjer: a slično prethodnim primjerima, izvodimo sljedeće radnje:

1) pomnožiti numeričke faktore:

;

2) pomnožiti potencije:

;

napišite odgovor: ;

U ovom slučaju, koeficijent monoma je jednak "", i literalni dio .

Sada razmislite druga standardna operacija na monomima . Pošto je monom algebarski izraz koji se sastoji od literalnih varijabli koje mogu poprimiti određene numeričke vrijednosti, imamo aritmetički numerički izraz koji treba izračunati. To jest, sljedeća operacija nad polinomima je izračunavanje njihove specifične numeričke vrijednosti .

Razmotrimo primjer. Monom je dat:

ovaj monom je već sveden na standardni oblik, njegov koeficijent je jednak jedan, a literalni dio

Ranije smo rekli da se algebarski izraz ne može uvijek izračunati, odnosno da varijable koje ga unose ne smiju imati nikakvu vrijednost. U slučaju monoma, varijable uključene u njega mogu biti bilo koje, to je karakteristika monoma.

Dakle, u datom primjeru, potrebno je izračunati vrijednost monoma za , , , .

Lekcija na temu: "Standardni oblik monoma. Definicija. Primjeri"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, sugestije. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna sredstva i simulatori u internet prodavnici "Integral" za 7. razred
Elektronski udžbenik "Razumljiva geometrija" za 7-9 razred
Multimedijalni nastavni vodič "Geometrija za 10 minuta" za 7-9 razred

Monom. Definicija

Monomi uključuju sve brojeve, varijable, njihove potencije s prirodnim eksponentom:
42; 3; 0; 62; 2 3 ; b 3 ; ax4; 4x3; 5a2; 12xyz 3 .

Često je teško odrediti da li se dati matematički izraz odnosi na monom ili ne. Na primjer, $\frac(4a^3)(5)$. Je li monom ili nije? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, moramo pojednostaviti izraz, tj. predstavljaju u obliku: $\frac(4)(5)*a^3$.
Možemo sa sigurnošću reći da je ovaj izraz monom.

Standardni oblik monoma

Redoslijed dovođenja monoma u standardni oblik je sljedeći:
1. Pomnožite koeficijente monoma (ili numeričkih faktora) i stavite rezultat na prvo mjesto.
2. Odaberite sve stepene sa istom osnovom slova i pomnožite ih.
3. Ponovite tačku 2 za sve varijable.

Primjeri.
I. Svedite dati monom $3x^2zy^3*5y^2z^4$ na standardni oblik.

Rješenje.
1. Pomnožite koeficijente monoma $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Sada ćemo predstaviti slične pojmove $15h^2y^5z^5$.

II. Pretvorite dati monom $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ u standardni oblik.

Rješenje.
1. Pomnožite koeficijente monoma $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Sada ćemo predstaviti slične pojmove $\frac(10)(7)a^5b^5c$.