lecke "A monom fogalma. A monomiális standard formája" módszertani fejlesztés algebrában a témában. A monom fogalma és szabványos formája Példák a monom szabványos formává való redukálására

A monomokkal kapcsolatos kezdeti információk azt a magyarázatot tartalmazzák, hogy bármely monom lecsökkenthető szabványos formára. Az alábbi anyagban részletesebben foglalkozunk ezzel a kérdéssel: jelezzük ennek a műveletnek a jelentését, meghatározzuk azokat a lépéseket, amelyek lehetővé teszik a monom szabványos alakjának beállítását, valamint példák megoldásával megszilárdítjuk az elméletet. .

A monomiális standard formára redukálásának jelentése

A monom szabványos formában történő írása kényelmesebbé teszi a vele való munkát. Gyakran előfordul, hogy a monomokat nem szabványos formában adják meg, és ekkor válik szükségessé azonos transzformációk végrehajtása, hogy az adott monomot szabványos formába hozzuk.

1. definíció

Egy monom redukálása standard formára megfelelő műveletek (azonos transzformációk) végrehajtása egy monomimmal annak érdekében, hogy szabványos formában írjuk le.

Módszer egy monom szabványos formára redukálására

A definícióból következik, hogy a nem szabványos alak monomiálisa számok, változók és hatványaik szorzata, és ezek ismétlődése lehetséges. A standard forma monomiálisa viszont csak egy számot és nem ismétlődő változókat vagy azok fokozatait tartalmazza.

A nem szabványos monom szabványos formává alakításához a következőket kell használnia szabály a monom szabványos formára való redukálására:

• első lépésként csoportosítjuk a numerikus tényezőket, ugyanazokat a változókat és azok fokozatait;
• a második lépés a számok szorzatának kiszámítása és az azonos bázisú hatványok tulajdonságának alkalmazása.

Példák és megoldásuk

Adott egy monom 3 x 2 x 2 . A szabványos formára kell hozni.

Megoldás

Végezzük el a numerikus tényezők és tényezők csoportosítását az x változóval, ennek eredményeként az adott monom a következő alakot ölti majd: (3 2) (x x 2) .

A zárójelben lévő termék a 6. A hatványok azonos bázisú szorzásának szabályát alkalmazva a zárójelben lévő kifejezés a következőképpen ábrázolható: x 1 + 2 = x 3. Ennek eredményeként egy standard alakú monomit kapunk: 6 · x 3 .

A megoldás rövid feljegyzése így néz ki: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3 .

Válasz: 3 x 2 x 2 = 6 x 3 .

2. példa

Adott egy monom: a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b . Ezt szabványos formába kell hozni, és meg kell adni együtthatóját.

Megoldás

az adott monom jelölésében egy numerikus tényező van: - 1, tegyük az elejére. Ezután csoportosítjuk az a változós faktorokat, a b változós faktorokat. Az m változót nincs mivel csoportosítani, meghagyjuk eredeti formájában. A fenti műveletek eredményeként a következőket kapjuk: - 1 a 5 a a 2 b 2 b m .

Végezzünk el műveleteket a zárójelben lévő fokokkal, ekkor a monomiális standard alakot ölt: (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1) a 8 b 3 m . Ebből a bejegyzésből könnyen meghatározhatjuk a monom együtthatóját: egyenlő -1. A mínusz egyet egyszerűen mínuszjellel helyettesíthetjük: (- 1) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m .

Az összes művelet összefoglalása így néz ki:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1) ) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m

Válasz:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = - a 8 b 3 m, az adott monom együtthatója -1.

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

Egytagú olyan kifejezés, amely két vagy több tényező szorzata, amelyek mindegyike betűvel, számjegyekkel vagy hatványokkal kifejezett szám (nem negatív egész kitevővel):

2a, a 3 x, 4ABC, -7x

Mivel az azonos tényezők szorzata felírható fokként, ezért egyetlen fok (nem negatív egész kitevővel) is monom:

(-4) 3 , x 5 ,

Mivel egy betűvel vagy számokkal kifejezett szám (egész vagy tört) felírható ennek a számnak eggyel szorzataként, így bármely egyedi szám monomiálisnak is tekinthető:

x, 16, -a,

A monom szabványos formája

A monom szabványos formája- ez egy monom, aminek csak egy numerikus tényezője van, amit először is meg kell írni. Minden változó ábécé sorrendben van, és csak egyszer szerepel a monomban.

A számok, változók és a változók fokozatai a szabványos formájú monomokra is vonatkoznak:

7, b, x 3 , -5b 3 z 2 - szabvány formájú monomok.

A standard alakú monom numerikus tényezőjét ún monomiális együttható. Az 1-gyel és -1-gyel egyenlő monomiális együtthatókat általában nem írják fel.

Ha nincs numerikus tényező a standard forma monomjában, akkor feltételezzük, hogy a monom együtthatója 1:

x 3 = 1 x 3

Ha a standard forma monomiálisában nincs numerikus tényező, és mínusz előjele van, akkor feltételezzük, hogy a monom együtthatója -1:

-x 3 = -1 x 3

Egy monom redukálása standard formára

A monom szabványos formába állításához a következőket kell tennie:

1. Ha több van, szorozza meg a numerikus tényezőket. Emeljen egy numerikus tényezőt hatványra, ha van kitevője. Tedd a számszorzót az első helyre.
2. Szorozzuk meg az összes azonos változót úgy, hogy minden változó csak egyszer forduljon elő a monomban.
3. Rendezd a változókat a numerikus tényező után ábécé sorrendbe.

Példa. A monomiot szabványos formában fejezze ki:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 x; b) 6 időszámításunk előtt 0.5 ab 3

Megoldás:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 x= 3 (-2) x 2 xyy 5 = -6x 3 y 6
b) 6 időszámításunk előtt 0.5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

A monom mértéke

A monom mértéke a benne lévő összes betű kitevőjének összege.

Ha egy monomiális szám, azaz nem tartalmaz változókat, akkor a fokát nullával egyenlőnek tekintjük. Például:

5, -7, 21 - nulla fokos monomok.

Ezért a monom mértékének meghatározásához meg kell határoznia a benne szereplő betűk kitevőjét, és össze kell adnia ezeket a kitevőket. Ha a betű kitevője nincs megadva, akkor az egyenlő eggyel.

Példák:

Szóval hogy vagy x a kitevő nincs megadva, ami azt jelenti, hogy egyenlő 1-gyel. A monom nem tartalmaz más változókat, ami azt jelenti, hogy foka egyenlő 1-gyel.

A monomiális csak egy változót tartalmaz a második fokozatban, így ennek a monomiálisnak a foka 2.

3) ab 3 c 2 d

Index a egyenlő 1-gyel, a mutató b- 3, jelző c- 2, indikátor d- 1. Ennek a monomiálisnak a mértéke egyenlő ezen mutatók összegével.

Ebben a leckében a monom szigorú meghatározását adjuk meg, és vegyünk figyelembe különféle példákat a tankönyvből. Emlékezzünk vissza a hatványok azonos alappal való szorzására vonatkozó szabályokra. Adjuk meg a monom standard alakjának definícióját, a monom együtthatóját és szó szerinti részét. Tekintsünk két alapvető tipikus műveletet a monomokkal, nevezetesen a standard formára való redukálást és a monom egy meghatározott számértékének kiszámítását a benne szereplő literális változók adott értékeire. Fogalmazzuk meg a szabályt a monom szabványos alakra való redukálására. Tanuljuk meg, hogyan lehet tipikus problémákat megoldani bármilyen monomimmal.

Téma:monomiálisok. Aritmetikai műveletek monomokkal

Lecke:A monom fogalma. A monom szabványos formája

Vegyünk néhány példát:

3. ;

Keressük az adott kifejezések közös jellemzőit. A kifejezés mindhárom esetben a számok és a hatványra emelt változók szorzata. Ez alapján adjuk a monom definíciója : a monom egy algebrai kifejezés, amely hatványok és számok szorzatából áll.

Most példákat adunk olyan kifejezésekre, amelyek nem monomiálisak:

Keressük meg a különbséget ezek és az előző kifejezések között. Ez abból áll, hogy a 4-7. példákban vannak összeadás, kivonás vagy osztás műveletei, míg az 1-3. példákban, amelyek monomok, ezek nem.

Íme még néhány példa:

A 8-as számú kifejezés monomiális, mivel egy hatvány és egy szám szorzata, míg a 9. példa nem monomiális.

Most derítsük ki monomokon végzett műveletek .

1. Egyszerűsítés. Tekintsük a 3. példát ;és 2. példa /

A második példában csak egy együtthatót látunk - , minden változó csak egyszer fordul elő, vagyis a " a” egyetlen példányban jelenik meg, mint „”, ehhez hasonlóan a „” és a „” változók csak egyszer fordulnak elő.

A 3. példában éppen ellenkezőleg, két különböző együttható van - és , kétszer látjuk a "" változót - mint "" és mint "", hasonlóképpen a "" változó kétszer fordul elő. Vagyis ezt a kifejezést le kell egyszerűsíteni, így jutunk el a monomokon végrehajtott első művelet az, hogy a monomit a standard formára hozzuk . Ehhez átvisszük a 3. példa kifejezését a szabványos alakba, majd definiáljuk ezt a műveletet, és megtanuljuk, hogyan hozhatunk bármilyen monomit a szabványos alakba.

Tehát vegyünk egy példát:

A szabványosítási művelet első lépése mindig az összes numerikus tényező szorzata:

;

Ennek a műveletnek az eredménye meg lesz hívva monomiális együttható .

Ezután meg kell szoroznia a fokokat. Megszorozzuk a" változó fokszámait x"az azonos bázisú hatványok szorzásának szabálya szerint, amely kimondja, hogy szorozva a kitevők összeadódnak:

Most szorozzuk meg a hatványokat nál nél»:

;

Tehát itt van egy leegyszerűsített kifejezés:

;

Bármely monom lecsökkenthető szabványos formára. Fogalmazzuk meg szabványosítási szabály :

Szorozzuk meg az összes numerikus tényezőt;

Helyezze az eredményül kapott együtthatót az első helyre;

Szorozzuk meg az összes fokot, azaz kapjuk meg a betűrészt;

Vagyis minden monomot együttható és betűrész jellemez. Előretekintve megjegyezzük, hogy az azonos betűrésszel rendelkező monomokat hasonlónak nevezzük.

Most keresned kell a monomok szabványos formára való redukálásának technikája . Nézzünk példákat a tankönyvből:

Feladat: hozza a monomit a standard formába, nevezze meg az együtthatót és a betűrészt.

A feladat elvégzéséhez a monomiális standard formába hozásának szabályát és a fokok tulajdonságait használjuk.

1. ;

3. ;

Megjegyzések az első példához: Először is határozzuk meg, hogy ez a kifejezés valóban monomiális-e, ehhez ellenőrizzük, hogy tartalmaz-e számok és hatványok szorzási műveleteit, illetve tartalmaz-e összeadási, kivonási vagy osztási műveleteket. Mondhatjuk, hogy ez a kifejezés monomiális, mivel a fenti feltétel teljesül. Továbbá a monom szabványos formába hozásának szabálya szerint megszorozzuk a numerikus tényezőket:

- megtaláltuk az adott monom együtthatóját;

; ; ; vagyis a kifejezés szó szerinti részét megkapja:;

írd le a választ: ;

Megjegyzések a második példához: A szabályt követve végrehajtjuk:

1) szorozzuk meg a numerikus tényezőket:

2) szorozd meg a hatványokat:

A és változók egy példányban kerülnek bemutatásra, vagyis semmivel nem szorozhatók, változtatás nélkül átírják, a fokozatot megszorozzák:

írd le a választ:

;

Ebben a példában a monomiális együttható eggyel egyenlő, a literális rész pedig .

Megjegyzések a harmadik példához: a az előző példákhoz hasonlóan a következő műveleteket hajtjuk végre:

1) szorozzuk meg a numerikus tényezőket:

;

2) szorozd meg a hatványokat:

;

írd ki a választ: ;

Ebben az esetben a monom együtthatója egyenlő "", és a szó szerinti rész .

Most fontolja meg második szabványos művelet monomokon . Mivel a monomiális egy algebrai kifejezés, amely olyan literális változókból áll, amelyek meghatározott számértékeket vehetnek fel, van egy aritmetikai numerikus kifejezés, amelyet ki kell számítani. Vagyis a következő művelet polinomokon az konkrét számértékük kiszámítása .

Vegyünk egy példát. A monom adott:

ez a monom már le lett redukálva standard formára, együtthatója eggyel egyenlő, és a szó szerinti rész

Korábban azt mondtuk, hogy egy algebrai kifejezést nem mindig lehet kiszámítani, vagyis a beírt változók nem vehetnek fel semmilyen értéket. Egy monom esetében a benne szereplő változók tetszőlegesek lehetnek, ez a monomiális jellemzője.

Tehát az adott példában ki kell számítani a , , , monomiális értékét.

lecke a témában: "A monom szabványos formája. Definíció. Példák"

Kiegészítő anyagok
Kedves felhasználók, ne felejtsék el meghagyni észrevételeiket, visszajelzéseiket, javaslataikat. Az összes anyagot egy vírusirtó program ellenőrzi.

Oktatási segédanyagok és szimulátorok az "Integral" online áruházban a 7. osztály számára
„Érthető geometria” elektronikus tankönyv 7-9
Multimédiás tanulmányi útmutató "Geometria 10 percben" 7-9

Egytagú. Meghatározás

A monomiálisok tartalmaznak minden számot, változót, hatványukat természetes kitevővel:
42; 3; 0; 62; 2 3; b 3; ax4; 4x3; 5a2; 12xyz 3.

Gyakran nehéz meghatározni, hogy egy adott matematikai kifejezés monomióra vonatkozik-e vagy sem. Például $\frac(4a^3)(5)$. Monomális vagy sem? A kérdés megválaszolásához le kell egyszerűsítenünk a kifejezést, azaz. ábrázolja a következő formában: $\frac(4)(5)*а^3$.
Biztosan állíthatjuk, hogy ez a kifejezés egy monom.

A monom szabványos formája

A monom szabványos formába állításának sorrendje a következő:
1. Szorozzuk meg a monomiális (vagy numerikus tényezők) együtthatóit, és tegyük az eredményt az első helyre!
2. Jelölje ki az összes azonos betűalapú fokot, és szorozza meg őket.
3. Ismételje meg a 2. pontot minden változónál.

Példák.
I. Csökkentse a megadott $3x^2zy^3*5y^2z^4$ monomiumot szabványos alakra.

Megoldás.
1. Szorozzuk meg a $15x^2y^3z * y^2z^4$ monom együtthatóit.
2. Most mutassuk be a $15х^2y^5z^5$ hasonló kifejezéseket.

II. Alakítsa át a megadott $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ monomiumot szabványos alakra.

Megoldás.
1. Szorozzuk meg a $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$ monom együtthatóit.
2. Most mutassuk be a $\frac(10)(7)a^5b^5c$ hasonló kifejezéseket.