Lezione "Il concetto di monomio. La forma standard di un monomio" Sviluppo metodico in algebra sull'argomento. Il concetto di monomio e la sua forma standard Esempi di riduzione di un monomio a una forma standard

Le informazioni iniziali sui monomi contengono un chiarimento sul fatto che qualsiasi monomio può essere ridotto a una forma standard. Nel materiale seguente, considereremo questo problema in modo più dettagliato: indicheremo il significato di questa azione, determineremo i passaggi che ci consentono di impostare la forma standard del monomio e consolideremo anche la teoria risolvendo esempi .

Il significato della riduzione del monomio alla forma standard

Scrivere un monomio in forma standard rende più conveniente lavorarci. Spesso i monomi vengono forniti in una forma non standard, quindi diventa necessario eseguire trasformazioni identiche per portare il monomio dato in una forma standard.

Definizione 1

Riduzione di un monomio a forma standardè l'esecuzione di azioni appropriate (trasformazioni identiche) con un monomio per scriverlo in una forma standard.

Metodo per ridurre un monomio a una forma standard

Dalla definizione consegue che un monomio di una forma non standard è un prodotto di numeri, variabili e loro potenze, e la loro ripetizione è possibile. A sua volta, il monomio della forma standard contiene nella sua notazione un solo numero e variabili non ripetitive o loro gradi.

Per convertire un monomio non standard in un modulo standard, è necessario utilizzare quanto segue regola per ridurre un monomio alla forma standard:

• il primo passo è raggruppare i fattori numerici, le stesse variabili ei loro gradi;
• il secondo passo è calcolare i prodotti dei numeri e applicare la proprietà delle potenze con le stesse basi.

Esempi e loro soluzione

Dato un monomio 3 x 2 x 2 . È necessario portarlo al modulo standard.

Soluzione

Eseguiamo un raggruppamento di fattori numerici e fattori con la variabile x, di conseguenza, il monomio dato assumerà la forma: (3 2) (x x 2) .

Il prodotto tra parentesi è 6 . Applicando la regola della moltiplicazione delle potenze aventi le stesse basi, l'espressione tra parentesi può essere rappresentata come: x 1 + 2 = x 3. Di conseguenza, otteniamo un monomio della forma standard: 6 · x 3 .

Un breve record della soluzione è simile al seguente: 3 x 2 x 2 = (3 2) (x x 2) = 6 x 3 .

Risposta: 3 x 2 x 2 = 6 x 3 .

Esempio 2

Dato un monomio: a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b . È necessario portarlo in forma standard e specificarne il coefficiente.

Soluzione

il monomio dato ha un fattore numerico nella sua notazione: - 1, spostiamolo all'inizio. Raggrupperemo quindi i fattori con la variabile a ei fattori con la variabile b. Non c'è niente con cui raggruppare la variabile m, la lasciamo nella sua forma originale. Come risultato delle azioni di cui sopra, otteniamo: - 1 a 5 a a 2 b 2 b m .

Eseguiamo le operazioni con i gradi tra parentesi, quindi il monomio assumerà la forma standard: (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1) a 8 b 3 m . Da questa voce possiamo facilmente determinare il coefficiente del monomio: è uguale a - 1. È del tutto possibile sostituire un meno uno semplicemente con un segno meno: (- 1) a 8 b 3 m = - a 8 b 3 m .

Un riepilogo di tutte le azioni si presenta così:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = (- 1) (a 5 a a 2) (b 2 b) m = = (- 1) a 5 + 1 + 2 b 2 + 1 m = (- 1 ) un 8 b 3 m = - un 8 b 3 m

Risposta:

a 5 b 2 a m (- 1) a 2 b = - a 8 b 3 m , il coefficiente del monomio dato è - 1 .

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Monomioè un'espressione che è il prodotto di due o più fattori, ognuno dei quali è un numero espresso da una lettera, cifre o potenza (con un esponente intero non negativo):

2un, un 3 X, 4abc, -7X

Poiché il prodotto di fattori identici può essere scritto come un grado, anche un singolo grado (con un esponente intero non negativo) è un monomio:

(-4) 3 , X 5 ,

Poiché un numero (intero o frazionario), espresso da una lettera o da numeri, può essere scritto come prodotto di questo numero per uno, allora ogni singolo numero può anche essere considerato un monomio:

X, 16, -un,

Forma standard di un monomio

Forma standard di un monomio- questo è un monomio, che ha un solo fattore numerico, che deve essere scritto in primo luogo. Tutte le variabili sono in ordine alfabetico e sono contenute nel monomio una sola volta.

Numeri, variabili e gradi di variabili si riferiscono anche ai monomi della forma standard:

7, b, X 3 , -5b 3 z 2 - monomi di forma standard.

Viene chiamato il fattore numerico di un monomio in forma standard coefficiente monomio. I coefficienti monomiali pari a 1 e -1 di solito non vengono scritti.

Se non esiste un fattore numerico nel monomio della forma standard, si presume che il coefficiente del monomio sia 1:

X 3 = 1 X 3

Se non c'è un fattore numerico nel monomio della forma standard ed è preceduto da un segno meno, si presume che il coefficiente del monomio sia -1:

-X 3 = -1 X 3

Riduzione di un monomio a forma standard

Per portare il monomio alla forma standard, è necessario:

1. Moltiplica i fattori numerici, se ce ne sono diversi. Eleva un fattore numerico a una potenza se ha un esponente. Metti il ​​moltiplicatore numerico al primo posto.
2. Moltiplica tutte le variabili identiche in modo che ogni variabile si presenti solo una volta nel monomio.
3. Disporre le variabili dopo il fattore numerico in ordine alfabetico.

Esempio. Esprimi il monomio in forma standard:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 X; b) 6 avanti Cristo 0,5 ab 3

Soluzione:

a) 3 yx 2 (-2) y 5 X= 3 (-2) X 2 Xyy 5 = -6X 3 y 6
b) 6 avanti Cristo 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c

Grado di monomio

Grado di monomioè la somma degli esponenti di tutte le lettere in essa contenute.

Se un monomio è un numero, cioè non contiene variabili, il suo grado è considerato uguale a zero. Per esempio:

5, -7, 21 - monomi di zero gradi.

Pertanto, per trovare il grado di un monomio, è necessario determinare l'esponente di ciascuna delle lettere in esso incluse e aggiungere questi esponenti. Se l'esponente della lettera non è specificato, allora è uguale a uno.

Esempi:

Quindi come stai X l'esponente non è specificato, il che significa che è uguale a 1. Il monomio non contiene altre variabili, il che significa che il suo grado è uguale a 1.

Il monomio contiene solo una variabile di secondo grado, quindi il grado di questo monomio è 2.

3) ab 3 c 2 d

Indice unè uguale a 1, l'indicatore b- 3, indicatore c- 2, indicatore d- 1. Il grado di questo monomio è uguale alla somma di questi indicatori.

In questa lezione daremo una definizione rigorosa di monomio, considereremo vari esempi dal libro di testo. Richiama le regole per moltiplicare le potenze con la stessa base. Diamo una definizione della forma standard di un monomio, del coefficiente di un monomio e della sua parte letterale. Consideriamo due operazioni tipiche di base sui monomi, ovvero la riduzione a una forma standard e il calcolo di un valore numerico specifico di un monomio per determinati valori delle variabili letterali in esso incluse. Formuliamo la regola per ridurre il monomio alla forma standard. Impariamo a risolvere problemi tipici con qualsiasi monomio.

Argomento:monomi. Operazioni aritmetiche sui monomi

Lezione:Il concetto di monomio. Forma standard di un monomio

Considera alcuni esempi:

3. ;

Troviamo le caratteristiche comuni per le espressioni date. In tutti e tre i casi, l'espressione è il prodotto di numeri e variabili elevati a potenza. Sulla base di questo, diamo definizione di monomio : un monomio è un'espressione algebrica che consiste in un prodotto di potenze e numeri.

Ora diamo esempi di espressioni che non sono monomi:

Cerchiamo di trovare la differenza tra queste espressioni e le precedenti. Consiste nel fatto che negli esempi 4-7 ci sono operazioni di addizione, sottrazione o divisione, mentre negli esempi 1-3, che sono monomi, queste operazioni non lo sono.

Ecco qualche altro esempio:

L'espressione numero 8 è un monomio, poiché è il prodotto di una potenza per un numero, mentre l'esempio 9 non è un monomio.

Ora scopriamolo azioni sui monomi .

1. Semplificazione. Considera l'esempio n. 3 ;e esempio #2 /

Nel secondo esempio vediamo un solo coefficiente - , ogni variabile ricorre una sola volta, cioè la variabile " un” è rappresentato in una singola istanza, come “”, analogamente, le variabili “” e “” si verificano una sola volta.

Nell'esempio n. 3, invece, ci sono due diversi coefficienti - e , vediamo la variabile "" due volte - come "" e come "", analogamente la variabile "" ricorre due volte. Cioè, questa espressione dovrebbe essere semplificata, quindi arriviamo a la prima azione eseguita sui monomi è portare il monomio alla forma standard . Per fare ciò, portiamo l'espressione dell'Esempio 3 nella forma standard, quindi definiamo questa operazione e impariamo come portare qualsiasi monomio nella forma standard.

Quindi considera un esempio:

Il primo passo nell'operazione di standardizzazione è sempre quello di moltiplicare tutti i fattori numerici:

;

Il risultato di questa azione verrà chiamato coefficiente monomio .

Successivamente, è necessario moltiplicare i gradi. Moltiplichiamo i gradi della variabile " X”secondo la regola per moltiplicare le potenze con la stessa base, la quale afferma che moltiplicati gli esponenti sommano:

Ora moltiplichiamo le potenze a»:

;

Quindi ecco un'espressione semplificata:

;

Qualsiasi monomio può essere ridotto alla forma standard. Formuliamo regola di standardizzazione :

Moltiplicare tutti i fattori numerici;

Metti al primo posto il coefficiente risultante;

Moltiplica tutti i gradi, ovvero ottieni la parte della lettera;

Cioè, qualsiasi monomio è caratterizzato da un coefficiente e una parte di lettere. Guardando al futuro, notiamo che i monomi che hanno la stessa parte di lettere sono chiamati simili.

Ora devi guadagnare tecnica per ridurre i monomi alla forma standard . Considera esempi dal libro di testo:

Compito: portare il monomio nella forma standard, nominare il coefficiente e la parte della lettera.

Per completare il compito, utilizziamo la regola di portare il monomio nella forma standard e le proprietà dei gradi.

1. ;

3. ;

Commenti sul primo esempio: Per cominciare, determiniamo se questa espressione è davvero un monomio, per questo controlliamo se contiene operazioni di moltiplicazione di numeri e potenze e se contiene operazioni di addizione, sottrazione o divisione. Possiamo dire che questa espressione è un monomio, poiché la condizione di cui sopra è soddisfatta. Inoltre, secondo la regola di portare il monomio alla forma standard, moltiplichiamo i fattori numerici:

- abbiamo trovato il coefficiente del monomio dato;

; ; ; cioè si riceve la parte letterale dell'espressione:;

annotare la risposta: ;

Commenti sul secondo esempio: Seguendo la regola, eseguiamo:

1) moltiplicare i fattori numerici:

2) moltiplichi i poteri:

Le variabili e si presentano in un'unica copia, cioè non si possono moltiplicare con nulla, si riscrivono senza modifiche, si moltiplica il grado:

scrivi la risposta:

;

In questo esempio, il coefficiente monomio è uguale a uno e la parte letterale è .

Commenti sul terzo esempio: a analogamente agli esempi precedenti, eseguiamo le seguenti azioni:

1) moltiplicare i fattori numerici:

;

2) moltiplichi i poteri:

;

scrivi la risposta: ;

In questo caso, il coefficiente del monomio è uguale a "", e la parte letterale .

Ora considera seconda operazione standard sui monomi . Poiché un monomio è un'espressione algebrica costituita da variabili letterali che possono assumere valori numerici specifici, abbiamo un'espressione numerica aritmetica che dovrebbe essere calcolata. Cioè, la seguente operazione sui polinomi è calcolando il loro valore numerico specifico .

Considera un esempio. Il monomio è dato:

questo monomio è già stato ridotto alla forma standard, il suo coefficiente è uguale a uno, e la parte letterale

In precedenza abbiamo detto che un'espressione algebrica non può sempre essere calcolata, cioè le variabili che la immettono potrebbero non assumere alcun valore. Nel caso di un monomio, le variabili incluse in esso possono essere qualsiasi, questa è una caratteristica del monomio.

Quindi, nell'esempio fornito, è necessario calcolare il valore del monomio per , , , .

Lezione sull'argomento: "Forma standard di un monomio. Definizione. Esempi"

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Monomio. Definizione

I monomi includono tutti i numeri, le variabili, le loro potenze con un esponente naturale:
42; 3; 0; 62; 2 3 ; b 3 ; ascia4; 4x3; 5a2; 12xyz 3 .

Molto spesso è difficile determinare se una data espressione matematica si riferisca o meno a un monomio. Ad esempio, $\frac(4a^3)(5)$. È monomio o no? Per rispondere a questa domanda, dobbiamo semplificare l'espressione, cioè rappresentare nella forma: $\frac(4)(5)*а^3$.
Possiamo dire con certezza che questa espressione è un monomio.

Forma standard di un monomio

L'ordine di portare il monomio alla forma standard è il seguente:
1. Moltiplicare i coefficienti del monomio (o fattori numerici) e mettere il risultato al primo posto.
2. Seleziona tutti i gradi con la stessa base lettera e moltiplicali.
3. Ripetere il punto 2 per tutte le variabili.

Esempi.
I. Ridurre il dato monomio $3x^2zy^3*5y^2z^4$ alla forma standard.

Soluzione.
1. Moltiplicare i coefficienti del monomio $15x^2y^3z * y^2z^4$.
2. Presentiamo ora termini simili $15х^2y^5z^5$.

II. Converti il ​​monomio dato $5a^2b^3 * \frac(2)(7)a^3b^2c$ in forma standard.

Soluzione.
1. Moltiplicare i coefficienti del monomio $\frac(10)(7)a^2b^3*a^3b^2c$.
2. Presentiamo ora termini simili $\frac(10)(7)a^5b^5c$.