Lineāra funkcija. Lineārā funkcija Lineārās funkcijas y 3 5x

Lineāra funkcija sauc par formas funkciju y = kx + b, kas definēts visu reālo skaitļu kopā. Šeit k- leņķa koeficients (reālais skaitlis), b – bezmaksas dalībnieks (reālais numurs), x ir neatkarīgs mainīgais.

Konkrētā gadījumā, ja k = 0, mēs iegūstam nemainīgu funkciju y=b, kuras grafiks ir taisna līnija, kas ir paralēla Vērša asij, kas iet caur punktu ar koordinātām (0;b).

Ja b = 0, tad mēs iegūstam funkciju y=kx, kurš ir tiešā proporcijā.

b – segmenta garums, kas nogriež līniju pa Oy asi, skaitot no sākuma.

Koeficienta ģeometriskā nozīme k – slīpuma leņķis taisni uz Vērša ass pozitīvo virzienu tiek uzskatīts par pretēji pulksteņrādītāja virzienam.

Lineārās funkcijas īpašības:

1) Lineāras funkcijas apgabals ir visa reālā ass;

2) Ja k ≠ 0, tad lineārās funkcijas diapazons ir visa reālā ass. Ja k = 0, tad lineārās funkcijas diapazons sastāv no skaitļa b;

3) Lineārās funkcijas vienmērīgums un dīvainība ir atkarīga no koeficientu vērtībām k un b.

a) b ≠ 0, k = 0, Sekojoši, y = b ir pāra;

b) b = 0, k ≠ 0, sekojoši y = kx ir nepāra;

c) b ≠ 0, k ≠ 0, sekojoši y = kx + b ir vispārīga funkcija;

d) b = 0, k = 0, sekojoši y = 0 ir gan pāra, gan nepāra funkcija.

4) Lineārai funkcijai nepiemīt periodiskuma īpašība;

5) Krustošanās punkti ar koordinātu asīm:

Vērsis: y = kx + b = 0, x = -b/k, Sekojoši (-b/k; 0)- krustošanās punkts ar abscisu asi.

Oy: y=0k+b=b, Sekojoši (0;b) ir krustošanās punkts ar y asi.

Piezīme.Ja b = 0 un k = 0, tad funkcija y=0 pazūd jebkurai mainīgā vērtībai X. Ja b ≠ 0 un k = 0, tad funkcija y=b nepazūd nevienai mainīgā vērtībai X.

6) Zīmes noturības intervāli ir atkarīgi no koeficienta k.

a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b- pozitīvs plkst x no (-b/k; +∞),

y = kx + b- negatīvs plkst x no (-∞; -b/k).

b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- pozitīvs plkst x no (-∞; -b/k),

y = kx + b- negatīvs plkst x no (-b/k; +∞).

c) k = 0, b > 0; y = kx + b pozitīvs visā definīcijas jomā,

k = 0, b< 0; y = kx + b ir negatīvs visā definīcijas jomā.

7) Lineāras funkcijas monotonitātes intervāli ir atkarīgi no koeficienta k.

k > 0, Sekojoši y = kx + b palielinās visā definīcijas jomā,

k< 0 , Sekojoši y = kx + b samazinās visā definīcijas jomā.

8) Lineāras funkcijas grafiks ir taisne. Lai novilktu taisnu līniju, pietiek zināt divus punktus. Taisnes pozīcija koordinātu plaknē ir atkarīga no koeficientu vērtībām k un b. Zemāk ir tabula, kas to skaidri parāda.

Lineārās funkcijas definīcija

Iepazīstinām ar lineārās funkcijas definīciju

Definīcija

Funkciju formā $y=kx+b$, kur $k$ nav nulle, sauc par lineāru funkciju.

Lineāras funkcijas grafiks ir taisna līnija. Skaitli $k$ sauc par līnijas slīpumu.

Ja $b=0$ lineāro funkciju sauc par tiešās proporcionalitātes funkciju $y=kx$.

Apsveriet 1. attēlu.

Rīsi. 1. Taisnes slīpuma ģeometriskā nozīme

Apsveriet trīsstūri ABC. Mēs redzam, ka $BC=kx_0+b$. Atrodiet taisnes $y=kx+b$ krustpunktu ar asi $Ox$:

\ \

Tātad $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Noskaidrosim šo malu attiecību:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

No otras puses, $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

Tādējādi var izdarīt šādu secinājumu:

Secinājums

Koeficienta $k$ ģeometriskā nozīme. Taisnes $k$ slīpums ir vienāds ar šīs taisnes slīpuma pieskari pret asi $Ox$.

Lineārās funkcijas $f\left(x\right)=kx+b$ un tās grafika izpēte

Vispirms apsveriet funkciju $f\left(x\right)=kx+b$, kur $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Tāpēc šī funkcija palielinās visā definīcijas jomā. Nav galēju punktu.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Grafiks (2. att.).

Rīsi. 2. Funkcijas $y=kx+b$ grafiki, ja $k > 0$.

Tagad apsveriet funkciju $f\left(x\right)=kx$, kur $k

1. Darbības joma ir visi skaitļi.
2. Darbības joma ir visi skaitļi.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Funkcija nav ne pāra, ne nepāra.
4. Ja $x=0,f\left(0\right)=b$. Ja $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Krustošanās punkti ar koordinātu asīm: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ un $\left(0,\b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Tāpēc funkcijai nav lēciena punktu.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Grafiks (3. att.).

Lineāra funkcija ir forma y=kx+b, kur x ir neatkarīgs mainīgais, k un b ir jebkuri skaitļi.
Lineāras funkcijas grafiks ir taisna līnija.

1. Lai attēlotu funkciju grafiku, mums ir vajadzīgas divu punktu koordinātas, kas pieder funkcijas grafikam. Lai tās atrastu, jāņem divas x vērtības, jāaizstāj tās funkcijas vienādojumā un no tām jāaprēķina atbilstošās y vērtības.

Piemēram, lai attēlotu funkciju y= x+2, ir ērti ņemt x=0 un x=3, tad šo punktu ordinātas būs vienādas ar y=2 un y=3. Iegūstam punktus A(0;2) un B(3;3). Savienosim tos un iegūstam funkcijas y= x+2 grafiku:

2. Formulā y=kx+b skaitli k sauc par proporcionalitātes koeficientu:
ja k>0, tad funkcija y=kx+b palielinās
ja k
Koeficients b parāda funkcijas grafika nobīdi pa OY asi:
ja b>0, tad funkcijas y=kx+b grafiku iegūst no funkcijas y=kx grafika, nobīdot b vienības uz augšu pa OY asi
ja b
Zemāk redzamajā attēlā parādīti funkciju y=2x+3 grafiki; y = ½x+3; y=x+3

Ņemiet vērā, ka visās šajās funkcijās koeficients k Virs nulles, un funkcijas ir pieaug. Turklāt, jo lielāka ir k vērtība, jo lielāks ir taisnes slīpuma leņķis pret OX ass pozitīvo virzienu.

Visās funkcijās b=3 - un mēs redzam, ka visi grafiki krustojas ar OY asi punktā (0;3)

Tagad aplūkosim funkciju grafikus y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

Šoreiz visās funkcijās koeficients k mazāks par nulli un funkcijas samazināt. Koeficients b=3, un grafiki, tāpat kā iepriekšējā gadījumā, šķērso OY asi punktā (0;3)

Aplūkosim funkciju grafikus y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Tagad visos funkciju vienādojumos koeficienti k ir vienādi ar 2. Un mēs saņēmām trīs paralēlas taisnes.

Bet koeficienti b ir atšķirīgi, un šie grafiki krustojas ar OY asi dažādos punktos:
Funkcijas y=2x+3 (b=3) grafiks šķērso OY asi punktā (0;3)
Funkcijas y=2x (b=0) grafiks šķērso OY asi punktā (0;0) - sākuma punktā.
Funkcijas y=2x-3 (b=-3) grafiks šķērso OY asi punktā (0;-3)

Tātad, ja zinām koeficientu k un b zīmes, tad uzreiz varam iedomāties, kā izskatās funkcijas y=kx+b grafiks.
Ja k 0

Ja k>0 un b>0, tad funkcijas y=kx+b grafiks izskatās šādi:

Ja k>0 un b, tad funkcijas y=kx+b grafiks izskatās šādi:

Ja k, tad funkcijas y=kx+b grafiks izskatās šādi:

Ja k=0, tad funkcija y=kx+b pārvēršas par funkciju y=b un tās grafiks izskatās šādi:

Funkcijas y=b grafika visu punktu ordinātas ir vienādas ar b Ja b=0, tad funkcijas y=kx (tiešā proporcionalitāte) grafiks iet caur izcelsmi:

3. Atsevišķi atzīmējam vienādojuma x=a grafiku.Šī vienādojuma grafiks ir OY asij paralēla taisne, kuras visiem punktiem ir abscisa x=a.

Piemēram, vienādojuma x=3 grafiks izskatās šādi:
Uzmanību! Vienādojums x=a nav funkcija, jo viena argumenta vērtība atbilst dažādām funkcijas vērtībām, kas neatbilst funkcijas definīcijai.

4. Divu līniju paralēlisma nosacījums:

Funkcijas y=k 1 x+b 1 grafiks ir paralēls funkcijas y=k 2 x+b 2 grafikam, ja k 1 =k 2

5. Nosacījums, lai divas taisnas līnijas būtu perpendikulāras:

Funkcijas y=k 1 x+b 1 grafiks ir perpendikulārs funkcijas y=k 2 x+b 2 grafikam, ja k 1 *k 2 =-1 vai k 1 =-1/k 2

6. Funkcijas y=kx+b grafika krustošanās punkti ar koordinātu asīm.

ar OY asi. Jebkura punkta, kas pieder pie OY ass, abscisa ir vienāda ar nulli. Tāpēc, lai atrastu krustošanās punktu ar OY asi, funkcijas vienādojumā x vietā jāaizstāj nulle. Mēs iegūstam y=b. Tas nozīmē, ka krustpunktam ar OY asi ir koordinātas (0;b).

Ar x asi: jebkura punkta, kas pieder pie x asi, ordināta ir nulle. Tāpēc, lai atrastu krustošanās punktu ar OX asi, funkcijas vienādojumā y vietā jāaizstāj nulle. Mēs iegūstam 0=kx+b. Tādējādi x=-b/k. Tas nozīmē, ka krustošanās punktam ar OX asi ir koordinātas (-b / k; 0):