Periodisku nesinusoidālu līkņu sadalīšana trigonometriskā Furjē rindā. Furjē sērija vienkāršu harmoniku veidā. Spektri Periodisku nesinusoidālu līkņu sadalīšana trigonometriskā Furjē rindā

Furjē transformācija ir visplašāk izmantotais līdzeklis patvaļīgas laika funkcijas pārvēršanai tās frekvenču komponentu komplektā komplekso skaitļu plaknē. Šo transformāciju var piemērot aperiodiskām funkcijām, lai noteiktu to spektrus, šajā gadījumā komplekso operatoru s var aizstāt ar ūsām:

Lai noteiktu interesantākās frekvences, var izmantot skaitlisko integrāciju kompleksajā plaknē.

Lai iepazītos ar šo integrāļu uzvedības pamatiem, mēs apsveram vairākus piemērus. Uz att. 14.6 (pa kreisi) parāda laukuma vienības impulsu laika apgabalā un tā spektrālo sastāvu; centrā - tāda paša laukuma, bet lielākas amplitūdas impulss, un labajā pusē - impulsa amplitūda ir bezgalīga, bet tā laukums joprojām ir vienāds ar vienotību. Īpaši interesants ir pareizais attēls, jo nulles platuma impulsu spektrs satur visas frekvences ar vienādām amplitūdām.

Rīsi. 14.6.

1822. gadā franču matemātiķis J. B. J. Furjē(J. B. J. Furjē) savā darbā par siltumvadītspēju parādīja, ka jebkuru periodisku funkciju var sadalīt sākotnējos komponentos, ieskaitot atkārtošanās frekvenci un šīs frekvences harmoniku kopu, katrai no harmonikām ir sava amplitūda un fāze attiecībā uz atkārtošanās ātrumu. . Furjē transformācijā izmantotās pamatformulas ir šādas:

kur L 0 ir līdzstrāvas komponents un BET" un AT"- kārtas pamatfrekvences harmonikas P, fāzē un pretējā fāzē. Funkcija f(x), tādējādi ir šo harmoniku un /1 0 summa.

Gadījumos, kad /(.r) ir simetrisks attiecībā pret n/2, t.i., /(x) apgabalā no n līdz 2n = -/(x) apgabalā no 0 līdz n, un nav līdzstrāvas komponentes , Furjē formulas -transformācijas ir vienkāršotas līdz:

kur P - 1,3,5, 7....

Visas harmonikas ir sinusoīdi, tikai daži no tiem ir fāzē, un daži ir ārpus fāzes ar pamata frekvenci. Lielāko daļu spēka elektronikā sastopamo viļņu formu šādā veidā var sadalīt harmonikās.

Ja Furjē transformācija tiek piemērota taisnstūrveida impulsiem, kuru ilgums ir 120°, tad harmonikas veidos secības kopu k = 6p± 1, kur P ir viens no veseliem skaitļiem. Katras harmonikas amplitūda h attiecībā pret pirmo ir saistīts ar tā skaitu ar relāciju h = /k.Šajā gadījumā pirmās harmonikas amplitūda būs 1,1 reizi lielāka nekā taisnstūra signāla amplitūda.

Furjē transformācija dod katras harmonikas amplitūdas vērtību, bet, tā kā tās visas ir sinusoidālas, efektīvo vērtību iegūst, vienkārši dalot atbilstošo amplitūdu ar sakni no 2. Kompleksa signāla efektīvā vērtība ir kvadrātsakne no summas katras harmonikas efektīvo vērtību kvadrāti, ieskaitot pirmo.

Strādājot ar atkārtotām impulsu funkcijām, ir lietderīgi ņemt vērā darba ciklu. Ja atkārtotie impulsi att. 14,7 ir RMS X laikā BET, tad šī laika vidējā kvadrātiskā vērtība AT būs vienāds ar H(L/W) ( 2. Tādējādi atkārtoto impulsu RMS vērtība ir proporcionāla darba cikla vērtības kvadrātsaknei. Piemērojot šo principu 120° (darba cikls 2/3) taisnstūra impulsam ar vienības amplitūdu, iegūstam RMS vērtību (2/3) 12 = 0,8165.

Rīsi. 14.7.

impulsi

Šo rezultātu ir interesanti pārbaudīt, summējot harmonikas, kas atbilst minētajam kvadrātviļņu vilcienam. Tabulā. 14.2 parāda šīs summēšanas rezultātus. Kā redzat, viss sakrīt.

Tabula 14.2. Harmoniku summēšanas rezultāti, kas atbilst

periodisks signāls ar darba ciklu 2/3 un vienības amplitūdu

Salīdzināšanas nolūkos jebkuru harmoniku kopu var sagrupēt un noteikt atbilstošo vispārējo harmonisko kropļojumu līmeni. Šajā gadījumā signāla vidējo kvadrātisko vērtību nosaka pēc formulas

kur h- pirmās (fundamentālās) harmonikas amplitūda, a h "- kārtības harmoniku amplitūda P > 1.

Par kropļojumiem atbildīgās sastāvdaļas var rakstīt atsevišķi kā

kur n> 1. Tad

kur fonds- pirmā harmonika, un THD(THD) būs vienāds ar D/fonds.

Lai gan kvadrātviļņu analīze ir interesanta, reālajā pasaulē to izmanto reti. Pārslēgšanas efekti un citi procesi taisnstūrveida impulsus padara vairāk līdzīgus trapecveida vai pārveidotāju gadījumā ar augošo malu, ko raksturo izteiksme 1 - cos(0) un krītošo malu, ko raksturo sakarība cos(0), kur 0 Palielinājums kāpuma un krituma reizinājums kvadrātvilnis "mīkstina" atbilstošo harmoniku kopu, tā ka augstas kārtas harmoniku amplitūda samazinās proporcionāli (1/Ar), nevis (1) /uz) zemākās frekvencēs. Parādot šo amplitūdu atkarību no frekvences uz papīra ar dubultu logaritmisko skalu, šī grafika atbilstošo sadaļu slīpums ir -2 un -1. palielinoties pretestībai vai strāvai sistēmā, slīpuma maiņas biežums samazinās. . Praktiskais rezultāts tam visam ir tāds, ka augstākas harmonikas ir mazāk svarīgas, nekā varētu domāt.

Lai gan pieaugums pretestība veicina augstākas pakāpes harmoniku samazināšanu, tas parasti nav iespējams. Vairāk priekšroka harmonisko komponentu samazināšana patērētajā strāvā ir impulsu skaita pieaugums taisnošanas vai sprieguma pārveidošanas laikā, kas panākts ar fāzes nobīdi. Attiecībā uz transformatoriem šī tēma tika skarta nodaļā. 7. Ja tiristoru pārveidotāju vai taisngriezi baro no transformatora tinumiem, kas savienoti ar zvaigzni un trīsstūri, un pārveidotāja vai taisngrieža izejas ir savienotas virknē vai paralēli, tad iegūst 12 nulles taisngriezi. Tagad tiek iegūti harmoniskie skaitļi komplektā k = 12P± 1 vietā k = 6w ± 1, kur P ir viens no veseliem skaitļiem. 5. un 7. kārtas harmoniku vietā tagad parādās 11. un 13. kārtas harmonikas, kuru amplitūda ir daudz mazāka. Pilnīgi iespējams izmantot vēl vairāk pulsāciju, un, piemēram, lielos elektroķīmisko iekārtu barošanas blokos tiek izmantotas 48 pulsāciju sistēmas. Tā kā lielos taisngriežos un pārveidotājos tiek izmantoti paralēli savienoti diožu vai tiristoru komplekti, fāzes nobīdes tinumu papildu izmaksas transformatorā galvenokārt nosaka tā cenu. Uz att. 14.8 parāda 12 impulsu ķēdes priekšrocības salīdzinājumā ar 6 impulsu ķēdi. 11. un 13. kārtas harmoniku 12 nulles ķēdē tipiskā amplitūdas vērtība ir aptuveni 10% no pirmās harmonikas. Ķēdēs ar lielu pulsāciju skaitu harmonikas ir noteiktā kārtībā k = lpp± 1, kur R- pulsāciju skaits.

Intereses labad ņemiet vērā, ka harmoniku kopu pāri, kas ir vienkārši nobīdīti viens pret otru par 30°, viens otru neizslēdz 6 impulsu ķēdē. Šīs harmoniskās strāvas plūst atpakaļ caur transformatoru; tādējādi ir nepieciešama papildu fāzes nobīde, lai iegūtu iespēju to savstarpējai iznīcināšanai.

Ne visas harmonikas ir vienā fāzē ar pirmo. Piemēram, trīsfāzu harmoniku komplektā, kas atbilst 120° kvadrātviļņu vilcienam, harmoniku fāzes mainās atbilstoši secībai -5, +7, -11, +13 utt. ķēdē var rasties vienfāzes komponenti, kas nozīmē harmoniku trīskāršošanu ar nulles fāzes nobīdi.

Rīsi. 14.8.

Izolācijas transformatori bieži tiek uzskatīts par panaceju harmonikas problēmām. Šie transformatori pievieno sistēmai zināmu pretestību un tādējādi palīdz samazināt augstākas harmonikas, tomēr, izņemot nulles secības strāvu slāpēšanu un elektrostatisko izolāciju, tie ir maz lietderīgi.

Periodisku nesinusoidālu funkciju dekompozīcija

Vispārīgas definīcijas

1. daļa. Lineāro ķēžu teorija (turpinājums)

ELEKTROINženierzinātnes

TEORĒTISKAIS PAMATS

Mācību grāmata elektroenerģētikas specialitāšu studentiem

T. Periodiskas nesinusoidālās strāvas elektriskās ķēdes

Kā zināms, elektroenerģijas nozarē sinusoidālā forma tiek pieņemta kā strāvu un spriegumu standarta forma. Taču reālos apstākļos strāvu un spriegumu līkņu formas var zināmā mērā atšķirties no sinusoidālajām. Šo funkciju līkņu formu izkropļojumi uztvērējos rada papildu enerģijas zudumus un to efektivitātes samazināšanos. Ģeneratora sprieguma līknes sinusoidālā forma ir viens no elektroenerģijas kā preces kvalitātes rādītājiem.

Strāvu un spriegumu līkņu formas izkropļošanai sarežģītā ķēdē ir iespējami šādi iemesli:

1) nelineāru elementu klātbūtne elektriskajā ķēdē, kuru parametri ir atkarīgi no strāvas un sprieguma momentānām vērtībām [ R, L, C=f(tu, i)], (piemēram, taisngrieži, elektriskās metināšanas agregāti u.c.);

2) parametru elementu klātbūtne elektriskajā ķēdē, kuru parametri laika gaitā mainās [ R, L, C=f(t)];

3) elektriskās enerģijas avots (trīsfāzu ģenerators) konstrukcijas īpatnību dēļ nevar nodrošināt ideālu izejas sprieguma sinusoidālu formu;

4) ietekme iepriekš uzskaitīto faktoru kompleksā.

Nelineārās un parametriskās shēmas ir apskatītas atsevišķās TOE kursa nodaļās. Šajā nodaļā tiek pētīta lineāro elektrisko ķēžu darbība, ja tās tiek pakļautas enerģijas avotiem ar nesinusoidālu viļņu formu.

No matemātikas kursa ir zināms, ka jebkura periodiska laika funkcija f(t), kas atbilst Dirihlē nosacījumiem, var attēlot ar harmonisko Furjē sēriju:

Šeit BET 0 - nemainīga sastāvdaļa, - k-th harmonikas komponents vai saīsināts k Es esmu ermoņika. 1. harmoniku sauc par fundamentālo, un visas nākamās harmonikas sauc par augstākajām.

Individuālo harmoniku amplitūdas A līdz nav atkarīgi no funkcijas paplašināšanas veida f(t) Furjē sērijā, savukārt atsevišķu harmoniku sākotnējās fāzes ir atkarīgas no laika atskaites (izcelsmes) izvēles.

Furjē sērijas atsevišķās harmonikas var attēlot kā sinusa un kosinusa komponentu summu:

Tad visa Furjē sērija būs šāda:

Attiecības starp abu Furjē sērijas formu koeficientiem ir:

Ja k th harmoniku un tās sinusa un kosinusa komponentus aizstāj ar kompleksiem skaitļiem, tad Furjē rindas koeficientu attiecību var attēlot kompleksā formā:

Ja periodiska nesinusoidāla laika funkcija ir dota (vai var tikt izteikta) analītiski matemātiska vienādojuma veidā, tad Furjē rindas koeficientus nosaka pēc matemātikas kursa zināmajām formulām:

Praksē pētāmā nesinusoidālā funkcija f(t) parasti tiek iestatīts grafiskas diagrammas veidā (grafiski) (118. att.) vai punktu koordinātu tabulas (tabulas) veidā viena perioda intervālā (1. tabula). Lai veiktu šādas funkcijas harmonisko analīzi saskaņā ar iepriekšminētajiem vienādojumiem, tā vispirms ir jāaizstāj ar matemātisko izteiksmi. Grafiski vai tabulas veidā dotas funkcijas aizstāšanu ar matemātisko vienādojumu sauc par funkcijas aproksimāciju.

Iepriekšējā nodaļā mēs tikāmies ar citu viedokli par svārstību sistēmu. Mēs esam redzējuši, ka virknē rodas dažādas īpašharmonikas un ka jebkura daļēja vibrācija, ko var iegūt no sākotnējiem nosacījumiem, var tikt uzskatīta par pareizi proporcionālu vairāku vienlaikus svārstīgu īpašharmoniku kombināciju. Virknei mēs atklājām, ka īpašharmonikām ir frekvences ω 0 , 2ω 0 , Зω 0 , ... . Tāpēc virknes vispārīgāko kustību veido sinusoidālās svārstības ar pamatfrekvenci ω 0, tad otrā harmonika 2ω 0, tad trešā harmonika Зω 0 utt. Pamatharmonika atkārtojas katrā periodā T 1 =2π/ω 0 , otrā harmonika atkārtojas katrā periodā T 2 \u003d 2π / 2ω 0; tas atkārtojas arī un katru periodu T 1 = 2T 2 , t.i. pēc divi viņu periodi. Tādā pašā veidā pēc perioda T 1 trešā harmonika atkārtojas. Šajā segmentā ir trīs periodi. Un atkal mēs saprotam, kāpēc pieskārās stīga pēc perioda T 1 pilnībā atkārto tās kustības formu. Tādā veidā tiek radīta muzikālā skaņa.

Līdz šim mēs runājām par virknes kustību. Tomēr skaņa, kas ir gaisa kustība, ko izraisa stīgas kustība, arī jāsastāv no tām pašām harmonikām, lai gan šeit vairs nevar runāt par paša gaisa harmonikām. Turklāt dažādu harmoniku relatīvais stiprums gaisā var ļoti atšķirties no stīgas, it īpaši, ja stīga ir "savienota" ar gaisu, izmantojot "skaņu dēli". Dažādas harmonikas dažādos veidos ir saistītas ar gaisu.

Ja par mūzikas toni funkcija f(t) attēlo gaisa spiedienu kā laika funkciju (teiksim, piemēram, 50.1.,6. att.), tad varam sagaidīt, ka f(t) tiek uzrakstīts kā dažu vienkāršu harmonisku laika funkciju summa (piemēram, cos ω t) katrai no dažādajām harmoniskajām frekvencēm. Ja svārstību periods ir T, tad pamata leņķiskā frekvence būs ω=2π/T, un nākamās harmonikas būs 2ω, Зω utt.

Šeit rodas neliela komplikācija. Mēs nevaram sagaidīt, ka katrai frekvencei sākotnējās fāzes noteikti būs vienādas viena ar otru. Tāpēc jums ir jāizmanto tādas funkcijas kā cos (ωt + φ) — tā vietā to ir vieglāk izmantot katrs frekvences ir gan sinusa, gan kosinusa. Atgādiniet to

un tā kā φ ir konstante, tad jebkura sinusoidālās svārstības ar frekvenci co var uzrakstīt kā terminu summu, no kuriem viens ietver sin ωt, bet otrs cos ωt.

Tātad mēs nonākam pie secinājuma, ka jebkura periodiska funkcija f(t) ar periodu T matemātiski var uzrakstīt kā

kur ω=2π/T, a a un b - skaitliskās konstantes, kas norāda, ar kādu svaru katra svārstību sastāvdaļa ir iekļauta kopējā svārstībā f(t). Vispārīgākai formulai esam pievienojuši terminu ar nulles frekvenci a 0, lai gan mūzikas toņiem tas parasti ir vienāds ar nulli. Tā ir vienkārši vidējā skaņas spiediena vērtības maiņa (t.i., “nulles” līmeņa maiņa). Izmantojot šo terminu, mūsu formula ir patiesa jebkurā gadījumā. Vienādojums (50.2) shematiski parādīts attēlā. 50.2. Harmonisko funkciju amplitūdas an un bn tiek izvēlēti saskaņā ar īpašu noteikumu. Attēlā tie ir parādīti tikai shematiski un nav zīmēti mērogā. [Sērija (50.2) tiek saukta netālu no Furjē funkcijām f(t).]

Mēs to teicām jebkurašajā formā var uzrakstīt periodisku funkciju. Jāveic neliels labojums un jāuzsver, ka kopumā šādā sērijā var izvērst jebkuru skaņas vilni vai jebkuru funkciju, ar ko sastopamies fizikā. Matemātiķi, protams, var nākt klajā ar funkciju, kuru nevar veidot no vienkāršām harmonikām (piemēram, funkciju, kas "aptin" atpakaļ, lai dažiem lielumiem t tam ir divas nozīmes!). Tomēr mums šeit nav jāuztraucas par šādām funkcijām.

Vispārīgi apraksti

Franču matemātiķis Furjē (J. B. J. Furjē 1768-1830) savam laikam pasludināja diezgan drosmīgu hipotēzi. Saskaņā ar šo hipotēzi nav tādas funkcijas, ko nevarētu izvērst trigonometriskā rindā. Taču diemžēl toreiz šāda ideja netika uztverta nopietni. Un tas ir dabiski. Pats Furjē nespēja sniegt pārliecinošus pierādījumus, un ir ļoti grūti intuitīvi noticēt Furjē hipotēzei. Īpaši grūti iedomāties, ka, pievienojot vienkāršas funkcijas, piemēram, trigonometriskās funkcijas, tiek reproducētas no tām pilnīgi atšķirīgas funkcijas. Bet, ja pieņemam, ka Furjē hipotēze ir pareiza, tad jebkuras formas periodisku signālu var sadalīt dažādu frekvenču sinusoīdos vai otrādi, attiecīgi pievienojot sinusoīdus ar dažādām frekvencēm, ir iespējams sintezēt signālu. jebkuras formas. Tāpēc, ja šī teorija ir pareiza, tad tās loma signālu apstrādē var būt ļoti liela. Šajā nodaļā vispirms mēģināsim ilustrēt Furjē minējuma pareizību.

Apsveriet funkciju

f(t)= 2grēks t- grēks 2t

Vienkāršas trigonometriskās sērijas

Funkcija ir trigonometrisko funkciju summa, citiem vārdiem sakot, tā tiek attēlota kā divu locekļu trigonometriskā sērija. Pievienojiet vienu terminu un izveidojiet jaunu trīs terminu sēriju

Vēlreiz pievienojot dažus terminus, mēs iegūstam jaunu desmit terminu trigonometrisko sēriju:

Šīs trigonometriskās rindas koeficientus mēs apzīmējam kā b k , kur k - veseli skaitļi. Ja paskatās uzmanīgi uz pēdējo attiecību, jūs varat redzēt, ka koeficientus var aprakstīt ar šādu izteiksmi:

Tad funkciju f(t) var attēlot šādi:

Likmes b k - tās ir sinusoīdu amplitūdas ar leņķisko frekvenci uz. Citiem vārdiem sakot, tie nosaka frekvences komponentu lielumu.

Ņemot vērā gadījumu, kad virsraksts uz vienāds ar 10, t.i. M= 10. Vērtības palielināšana M līdz 100, mēs iegūstam funkciju f(t).

Šī funkcija, kas ir trigonometriska sērija, pēc formas tuvojas zāģa zoba signālam. Un šķiet, ka Furjē hipotēze ir absolūti pareiza attiecībā uz fiziskajiem signāliem, ar kuriem mums ir darīšana. Arī šajā piemērā viļņu forma nav gluda, bet ietver pārtraukuma punktus. Un tas, ka funkcija tiek reproducēta pat pārtraukuma vietās, izskatās daudzsološi.

Fiziskajā pasaulē patiešām ir daudzas parādības, kuras var attēlot kā dažādu frekvenču vibrāciju summu. Tipisks šo parādību piemērs ir gaisma. Tā ir elektromagnētisko viļņu summa ar viļņa garumu no 8000 līdz 4000 angstrēm (no sarkanas līdz purpursarkanai). Protams, jūs zināt, ja baltā gaisma tiek izlaista caur prizmu, tad parādīsies septiņu tīru krāsu spektrs. Tas ir tāpēc, ka stikla, no kura izgatavota prizma, laušanas koeficients mainās atkarībā no elektromagnētiskā viļņa viļņa garuma. Tas ir tieši pierādījums tam, ka baltā gaisma ir dažāda garuma gaismas viļņu summa. Tātad, izlaižot gaismu caur prizmu un iegūstot tās spektru, mēs varam analizēt gaismas īpašības, pārbaudot krāsu kombinācijas. Līdzīgi, sadalot saņemto signālu tā dažādās frekvenču komponentēs, mēs varam noskaidrot, kā radās sākotnējais signāls, kādu ceļu tas gāja vai, visbeidzot, kādai ārējai ietekmei tas tika pakļauts. Vārdu sakot, mēs varam iegūt informāciju, lai noskaidrotu signāla izcelsmi.

Šo analīzes metodi sauc spektrālā analīze vai Furjē analīze.

Apsveriet šādu ortonormālo funkciju sistēmu:

Funkcija f(t)Šajā funkciju sistēmā intervālā [-π, π] var paplašināt šādi:

Koeficienti α k ,β k , kā parādīts iepriekš, var izteikt skalāros reizinājumus:

Kopumā funkcija f(t) var attēlot šādi:

Koeficienti α 0 , α k ,β k sauc Furjē koeficienti, un šādu funkcijas attēlojumu sauc paplašināšana Furjē sērijā. Dažreiz šo skatu sauc derīgs izplešanās Furjē sērijā, un koeficienti ir īstie Furjē koeficienti. Termins "īsts" ir ieviests, lai atšķirtu iesniegto paplašinājumu no Furjē sērijas paplašināšanas sarežģītā formā.

Kā minēts iepriekš, patvaļīgu funkciju var paplašināt, izmantojot ortogonālo funkciju sistēmu, pat ja šīs sistēmas funkcijas nav attēlotas kā trigonometriskas sērijas. Parasti paplašināšana Furjē sērijā nozīmē paplašināšanu trigonometriskā sērijā. Ja Furjē koeficientus izsaka ar α 0 , α k ,β k mēs iegūstam:

Tā kā par k = 0 kostīms= 1, tad konstante a 0/2 izsaka koeficienta vispārējo formu a k plkst k= 0.

Saistībā (5.1) lielākā perioda svārstības, kas attēlotas ar summu cos t un grēks t sauc par pamatfrekvences svārstību vai pirmā harmonika. Svārstības, kuru periods ir vienāds ar pusi no galvenā perioda, sauc par otro harmonika. Tiek sauktas svārstības ar periodu, kas vienāds ar 1/3 no galvenā perioda trešā harmonika utt. Kā redzams no attiecības (5.1) a 0 ir nemainīga vērtība, kas izsaka funkcijas vidējo vērtību f(t). Ja funkcija f(t) ir elektrisks signāls a 0 apzīmē tā pastāvīgo sastāvdaļu. Tāpēc visi pārējie Furjē koeficienti izsaka tā mainīgos komponentus.

Uz att. 5.2 parāda signālu un tā izplešanos Furjē sērijā: konstantā komponentā un dažādu frekvenču harmonikās. Laika apgabalā, kur mainīgais ir laiks, signālu izsaka funkcija f(t), un frekvenču jomā, kur mainīgais ir frekvence, signālu attēlo Furjē koeficienti (a k, b k).

Pirmā harmonika ir periodiska funkcija ar punktu 2 π Citām harmonikām arī ir periods, kas ir daudzkārtnis 2 π . Pamatojoties uz to, veidojot signālu no Furjē sērijas komponentiem, mēs dabiski iegūstam periodisku funkciju ar periodu 2 π. Un, ja tas tā ir, tad Furjē sērijas paplašināšana faktiski ir veids, kā attēlot periodiskas funkcijas.

Izvērsīsim bieži sastopamā tipa signālu Furjē sērijā. Piemēram, apsveriet iepriekš minēto zāģa zoba līkni (5.3. attēls). Šādas formas signāls uz segmenta - π < t < π i izsaka ar funkciju f( t)= t, tāpēc Furjē koeficientus var izteikt šādi:

1. piemērs

Furjē sērijas zāģa zoba signāla paplašināšana

f(t) = t,

Sāksim ar vienkāršu shēmu, lai aptvertu pamatjēdzienus, kurus vēlāk izmantosim sarežģītākām shēmām. Uz att. 7.1 parāda ieejas spriegumu V BX.p = 1 V, tas ir sinusoidāls vilnis ar frekvenci f\u003d 1 kHz un maksimālā vērtība 1 V (rms V iekšā=√2). Lai nodrošinātu izejas spriegumu, kas ir nelineāra ieejas sprieguma funkcija, kā pastiprinātājs tiek izmantots sprieguma kontrolēts sprieguma avots E (VUNC). Šajā piemērā funkcija parāda izejas sprieguma atkarību no ieejas

f(x) = 1 + X + X².

Rīsi. 7.1. Shēma ar nelineāru sakarību starp ieejas un izejas spriegumiem

Šī funkcionālā sakarība tiek parādīta komandā E, izmantojot polinoma koeficientus. Polinoma vispārīgs skats:

f(X) = k 0 + k 1 X + k 2 X².

Lai iegūtu mūsu piemēra atkarību, mēs izmantojam ievades komandas E pēdējos trīs skaitļus. Mēs vēlamies veikt harmoniku analīzi, lai noskaidrotu, kuras harmonikas atrodas izejas spriegumā, bet vispirms mēģināsim noteikt, kas mums būtu jāsagaida.

Pirms turpināt laika atkarību paplašināšanu Furjē rindā, ir jāveic pārejas procesu analīze (pārejas analīzes programma PSpice).

Tāpēc ir jāizmanto gan .TRAN, gan .FOUR komandas. Parasti pārejošu analīzi veic pilnam pamatfrekvences periodam. Šajā piemērā f=1 kHz; Sekojoši, T=1/f=1 ms. Harmoniskā analīze atspoguļo frekvences komponentus līdz devītajai harmonikai. Lielākajai daļai mērķu tam vajadzētu būt vairāk nekā pietiekami. Ja tiek parādītas augstākas harmonikas, tām nebūs lielas nozīmes, jo rezultātos uzkrājas noapaļošanas kļūda.

Lai sniegtu sīkāku ieejas sprieguma aprakstu V BX, izmantojiet veidlapu grēks lai aprakstītu avotu. Parametri sin( a, b,Ar,…) nozīmē: a- pastāvīga sastāvdaļa, b- maksimālā vērtība, Ar- biežums, d- kavēšanās, e- vājinājuma koeficients un f- fāze.

Kad komanda .FOUR ir iekļauta ievades failā, tā rada harmonisku analīzi, kas nodrošina pārejošas analīzes rezultātu Furjē paplašinājumu. Šīs komandas parametri ietver pamata frekvenci un mainīgos lielumus, kuriem tiks iegūta paplašināšana. Šajā piemērā šie mainīgie būs periodiskas ieejas V(1) un izejas V(2) sprieguma funkcijas. Ievades fails:

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumenti nobīdei, maksimumam un biežumam

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; pēdējās 3 vērtības k0, k1, k2

Veiciet analīzi, pēc tam iegūstiet V(1) un (V)2 diagrammas. Pārliecinieties, vai V(1) ir precīza ieejas sprieguma kopija V VX. Izejas spriegumam ir jāuzrāda līdzstrāvas komponents un kompleksais vilnis ar maksimumu 3 V. No Furjē sērijas teorētiskās izpētes var secināt, ka šis grafiks atgādina periodisku vilni, kas sastāv no pamata un otrās harmonikas. Ir ieteicams izdrukāt šīs diagrammas kopiju turpmākai izpētei. Uz att. 7.2 parāda šos grafikus.

Rīsi. 7.2. Stresa grafiki v 1 un v 2 shēmai attēlā. 7.1

Apsveriet arī šīs ķēdes izejas failu (7.3. attēls), kurā ir norādītas šādas mezgla spriegumu vērtības: V(1)=0 V un V(2)=1 V. Tas nozīmē, ka, lai gan ieejas signālam nav nobīde, izejas spriegumam ir nobīde V(2)=1V.

Uz att. 7.3. Furjē sērijas komponentu tabulā V(1) ne visiem komponentiem ir reālās vērtības. Tādējādi konstantās komponentes vērtībai teorētiski jābūt vienādai ar nulli, bet analīze dod ļoti mazu vērtību 3,5E-10, kas nav precīzi vienāda ar nulli noapaļošanas kļūdu uzkrāšanās dēļ.

Furjē analīze; Polinoma sadalīšanās

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumenti ir nobīde, maksimums un biežums

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; pēdējie 3 1 ir paredzēti k0, k1, k2

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

HARMONISKĀ FREKVENCIJA FURĒ NORMALIZĒTA FĀZE NORMALIZĒTA

NAV (HZ) KOMPONENTA KOMPONENTS (DEG) FĀZE (DEG)

1 1 000 E+03 1 000 E+00 1000 E+00 -2,888 E-07 0,000 E+00

2 2 000 E+03 5 000 E-01 5000 E-01 –9 000 E+01 –9 000 E+01

3 3 000 E+03 7,971 E-08 7,971 E-08 -1,546 E+02 –1,546 E+02

4 4 000E+03 5,126E-08 5,126E-08 -1,439E+02 –1,439E+02

5 5 000E+03 3,918E-08 3,918E-08 -1,420E+02 -1,420E+02

6 6 000E+03 3,327E-08 3,327E-08 -1,299E+02 -1,299E+02

7 7.000E+03 3.606E-08 3.606E-08 -1.268E+02 -1.268E+02

8 8.000E+03 2.889E-08 2.859E-08 -1.316E+02 -1.316E+02

9 9.000E+03 2.584E-08 2.584E-08 -1.189E+02 -1.189E+02

KOPĒJAIS HARMONISKS KRĀPJUMS = 4,999939E+01 PROCENTS

Rīsi. 7.3. Izvades fails ar ķēdes analīzes rezultātiem attēlā. 7.1

Pirmā harmonika ir fundamentālā harmonika pie f= 1 kHz. Parādīta Furjē sērijas pirmās harmonikas amplitūda un tās fāze 2,4Е-7 (arī gandrīz nulle). Ja pieņemam, ka šis komponents ir izteikts ar formulu

b n grēks ( nx),

tad tas nozīmē to b 1 =1, n=1, kur indekss 1 atbilst pamata frekvencei. Citas harmonikas var ignorēt, jo to amplitūdas ir daudzkārt mazākas par pamata harmoniku. Tā ir pamata harmonika, kas ir atspoguļota V (1) grafikā programmā Probe, kas iegūta no datiem, kas parādīti attēlā. 7.3.

Vēl viena Furjē komponentu tabula att. 7.3. attiecas uz V(2). Aplūkojot dažādas harmonikas, ņemiet vērā, ka ir 1,5 V līdzstrāvas komponents. Kāpēc 1,5 V? Komponents k 0 = 1 V dod tikai daļu no šīs vērtības, atlikušie 0,5 V ir saistīti ar otro harmoniku. Teorija parāda, ka ar harmoniku izkropļojumu otrajā harmonikā izejas spriegumā, papildus pašai otrajai harmonikai ar amplitūdu b 2, ar vērtību parādās nemainīgs komponents, kas saistīts ar kropļojumiem otrajā harmonikā b 0 =b 2. Pamatfrekvences amplitūda izplešanās laikā ir b 1 \u003d 1 V, otrās harmonikas amplitūda b 2 =0,5 V, tā fāzes leņķis ir -90°. Augstākās harmonikas ir daudz mazākas, un tās var ignorēt.

Kā harmonikas sintēzes vingrinājumu varat uzzīmēt atsevišķas harmonikas un saskaitīt tās kopā, lai prognozētu rezultātu, ko iegūstat programmā Probe for V(2). Neaizmirstiet ņemt vērā līdzstrāvas komponentu un atbilstošās amplitūdas un fāzes pamata un otrās harmonikas. Kad būsiet uzzīmējis iegūto viļņu formu, jūs, bez šaubām, būsiet priecīgi uzzināt, ka PSpice var paveikt nogurdinošo darbu jūsu vietā.

Izveidosim jaunu ievades failu, kas atbilst att. 7.4, uz kura uz diagrammas att. 7.1, tiek pievienoti vēl divi neatkarīgi strāvas avoti.

Mēs izmantojām divus avotus tikai tāpēc, lai jūs varētu iegūt pamata un otro harmoniku vienā un tajā pašā grafikā ar izejas spriegumu. Papildu avoti baro paralēli savienotu 1 omu rezistoru. Šādas izmaiņas sākotnējā shēmā nemaz nav nepieciešamas, tas vienkārši izrādījās ērti ar noteiktu parametru kopumu. Jaunais ievades fails ir iepriekšējā faila paplašinājums un izskatās šādi:

Furjē analīze; Polinoma sadalīšanās

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumenti - nobīde, amplitūda un frekvence

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; pēdējie 3 ieraksti k0, k1, k2

i2 0 3 sin(0,5 0,5 2000 0 0 -90)

Rīsi. 7.4. Shēma harmoniku pievienošanas un izplešanās analīzei Furjē sērijā

Pirms analīzes veikšanas sīkāk apskatīsim aprakstus par i 1 un i 2. Harmoniskajai sintēzei tiek izmantoti Furjē sērijas paplašināšanas rezultāti no iepriekšējās problēmas. Pārliecinieties, ka saprotat visu parametru nozīmi; pēc tam palaidiet analīzi programmā Probe, lai iegūtu I(i1), I(i2) un I(r) diagrammas. Lai gan tās ir strāvas, tās skaitliski ir vienādas ar spriegumiem, jo ​​tās iet caur 1 omi pretestību. Uz att. 7.5 parāda rezultātus. Tagad jūs varat noteikt, ka pirmais grafiks ir pamata harmonika, otrais ir otrā harmonika un trešais ir rezultāts, pievienojot tos rezistorā r. Protams, jūs varat iegūt diagrammu V(3), nevis I(r). Tajā pašā laikā ass Y tiks marķētas sprieguma, nevis strāvas vienībās. Pārbaudiet, vai pirmo divu līkņu summa dod trešo līkni dažādos laika punktos. Lai padarītu grafiku kompaktāku, mēs izmantojām 1 V nobīdi pamata un 0,5 V 2. harmonikai. Faktiski pamata harmonikai ir nulles nobīde.

Rīsi. 7.5. Pamata un otrā harmonika un to pievienošanas rezultāts

Ja pastiprinātāja darbības zona pārsniedz raksturlieluma lineāro daļu, tas rada zināmus traucējumus. Pirmā tuvināšana reālajai izvades līknei tiek panākta, modelī iekļaujot otro harmoniku, parādot, ka pārejas funkcija savieno i c un i b(kolektora un bāzes strāva) ir sava veida parabola. Parasti kropļojums ir daudz mazāks nekā tas, kas pieņemts mūsu pirmajā ievadpiemērā, kas tika parādīts attēlā. 7.1. Precīzāku polinomu dod formula

f(x) = 0,1 + x + 0,2x².

Pietiek vienkārši pārveidot sākotnējo ievades failu, lai atspoguļotu šo situāciju. Atkarīgā avota ievades komanda E būs šādā formā:

E 2 0 poli(1) 1,0 0,1 1 0,2; pēdējās trīs vērtības k0, k1, k2

un viss ievades fails būs:

Palaidiet analīzi un iegūstiet V(1) un V(2) diagrammas programmā Probe. Jūs redzēsit, ka abi viļņi izskatās kā īsti sinusoidālie viļņi. Lai iegūtu precīzāku salīdzinājumu, noņemiet V(2) diagrammu un tā vietā iegūstiet V(2)–0,1 diagrammu. Tas tuvinās abas līknes viena otrai. Salīdzinot viļņus, atcerieties, ka V(1) ir tikai sinusoidāls vilnis un V(2) ir pamata un otrās harmonikas kombinācija. Šajā piemērā otrajai harmonikai ir daudz mazāka amplitūda nekā iepriekšējā. Attēlā parādītos pētījuma rezultātus varat izdrukāt. 7.6.

Rīsi. 7.6. Pamata un otrā harmonika un to pievienošanas rezultāts

Pēc programmas Probe iziešanas apsveriet šī gadījuma izvades failu. Ieejas spriegums V(1) ir tieši tāds pats kā iepriekšējā piemērā, bet V(2), protams, ir atšķirīgs. Lūdzu, ņemiet vērā, ka izejas sprieguma līdzstrāvas komponents ir 0,2 V, bet otrā harmonika pie f=2 kHz amplitūda ir 0,1 V un fāzes leņķis -90°. Citas harmonikas ir daudz mazākas, un tās var neņemt vērā. Visbeidzot, nosakiet kopējo harmonisko kropļojumu, kas ir ļoti tuvu 10%, kā paredzēts. Otrais harmoniskais kropļojums ir definēts kā b 1 /b 2 kur b 1 un b 2 - koeficienti pie otrās un pamata harmonikas, attiecīgi. Šie dati ir parādīti attēlā. 7.7.

Furjē analīze; Otrais harmoniskais kropļojums, jaudas pastiprinātājs

NODE VOLTAGE MEZGLA SPRIEGUMS MEZGLS SPRIEGUMS MEZGLA SPRIEGUMS

PĀREJAS REAKCIJAS FURĒ KOMPONENTES V(1)

HARMONISKĀ FREKVENCIJA FURĒ NORMALIZĒTA FĀZE NORMALIZĒTA

NAV (HZ) KOMPONENTA KOMPONENTS (DEG) FĀZE (DEG)

1 1000 E+03 1000 E+00 1000 E+00 1115 E-06 0,000 E+00

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

3 3 000E+03 7,381E-09 7,381E-09 -9,083E+01 -9,083E+01

4 4.000E+03 4.388E-09 4.388E-09 -8.993E+01 -8.993E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

7 7 000E+03 1,511E-09 1,511E-09 -1,392E+02 -1,392E+02

8 8 000E+03 1,237E-09 1,237E-09 -3,990E+01 -3,990E+01

9 9.000E+03 7.642E-10 7.642E-10 3.320E+01 3.320E+01

KOPĒJAIS HARMONISKS KRĀPJUMS = 2,208405E-06 PROCENTI

PĀREJAS REAKCIJAS FURĒ KOMPONENTES V(2)

HARMONISKĀ FREKVENCIJA FURĒ NORMALIZĒTA FĀZE NORMALIZĒTA

NAV (HZ) KOMPONENTA KOMPONENTS (DEG) FĀZE (DEG)

1 3000 E+03 1000 E+00 1000 E+00 7683E-07 0,000 E+00

2 2 000 E+03 1 000 E-01 1 000 E-01 –9 000 E+01 –9 000 E+01

3

4 4.000E+03 1.430E-08 1.430E-08 –1.348E+02 –1.348E+02

5 5 000E+03 9 547E-09 9 547E-09 -1,365E+02 -1,365E+02

6 6.000E+03 8.100E-09 8.100E-09 -1.232E+02 -1.232E+02

7 7.000E+03 6.463E-09 6.463E-09 -1.342E+02 -1.342E+02

8 8.000E+03 5.743E-09 5.743E-09 -9.544E+01 -9.544E+01

9 9.000E+03 6.931E-09 6.931E-09 -1.092E+02 -1.092E+02

KOPĒJAIS HARMONISKS KRĀPJUMS = 9,999880E+00 PROCENTI

Rīsi. 7.7. Pastiprinātāju otrās harmonikas kropļojumu analīzes rezultāti

Mēs izmantojam vienkāršu shēmu (7.8. att.), lai parādītu, kā divi sinusoidālie viļņi tiek apvienoti nelineārā ierīcē, izmantojot frekvences, kas ir diezgan tuvu viena otrai, proti, f 1 = 1 kHz un f 2 = 1,5 kHz. Nelineārā sajaukšana notiek e-tipa atkarīgā avotā VCVS (INUN). Polinomā, kas apraksta attiecības, ir vairāk terminu nekā iepriekšējā piemērā:

f(x) = 1 + x + X² + x³.

Rīsi. 7.8. Shēma intermodulācijas kropļojumu demonstrēšanai

Strāvas, summējot, rada iekšā R= 1 Ω spriegums V(1), skaitliski vienāds ar strāvu in R. Tādējādi ieejas spriegumu V(1) var uzskatīt par spriegumu nelineārā maisītājā. Tā kā sinusoidālajiem viļņiem ir dažādas frekvences, to summa ir sarežģīta periodiska svārstība ar frekvenci, kas atšķiras no sākotnējo komponentu frekvences (sitienu frekvences). Ievades fails:

Palaidiet simulāciju un nokļūstiet zondē V(1). Atlasiet Plot, X-Axis Settings…, User Defined un iestatiet diapazonu no 0 līdz 10 ms, lai sasniegtu vienmērīgu ieejas spriegumu. Šis grafiks ir parādīts attēlā. 7.9. Lai apstiprinātu, ka tā patiesībā ir 1 un 1,5 kHz harmoniku summa, mēs izvēlamies Trace, Furjē, pārejot no laika domēna uz frekvences domēnu. Mainīsim robežas gar asi X iestatot frekvenču diapazonu no 4 līdz 12 kHz. Pārliecinieties, vai ass parametri atbilst vēlamajām frekvencēm un paredzamajām amplitūdām. Patiesībā, kad f\u003d 1 kHz, spriegums ir 0,991 V un pie f= 1,5 kHz, tas ir 0,979 V. Ņemiet vērā, ka šajā sintēzē ir zināma uzkrāšanās kļūda. Uz att. 7.10 parāda atbilstošo frekvences reakciju.

Rīsi. 7.9. Izejas spriegums pie intermodulācijas kropļojumiem

Rīsi. 7.10. Ieejas sprieguma spektrālais sastāvs

Pēc tam atlasiet Trace, End Furier, lai atgrieztos laika domēnā, izdzēsiet V(1) diagrammu un iegūstiet miksera izejas spriegumu V(2). Atcerieties, ka mikseris ir INUN ar polinoma savienojumu, ko nodrošina funkcija f(X). Laika atkarība ir grafiks, kas līdzīgs V(1) grafikam, taču, papētot to tuvāk, atklājas, ka sprieguma formas būtiski atšķiras. Dažas norādes var iegūt no šīs sarežģītās viļņu formas harmoniskā satura, tāpēc būs jāatgriežas frekvenču domēnā, izvēloties diapazonu gar asi X no 0 līdz 5 kHz. Mēs iesakām izdrukāt frekvenču spektru turpmākai izpētei. Frekvences modulācijas komponentu teorētiskā analīze ļauj prognozēt un pārbaudīt PSpice analīzes rezultātus. Ņemiet vērā, ka 0,5 līdz 4,5 kHz diapazonā ir 2 V līdzstrāvas komponents un nozīmīgas sastāvdaļas (frekvenču spektru skatiet 7.11. attēlā).

Rīsi. 7.11. Izejas sprieguma spektrālais sastāvs

Vienkāršākais teorētiskās analīzes gadījums ir harmoniskas ietekmes gadījums uz ķēdi, kas sastāv no lineāriem komponentiem, piemēram, rezistoriem, kondensatoriem un induktoriem, un, kā jūs zināt, reakcija ir harmoniskas svārstības ar tādu pašu ieejas signāla frekvenci. Dažādi sprieguma kritumi ķēdē ir arī harmoniskas svārstības ar tādu pašu frekvenci, kas atšķiras tikai amplitūdā un fāzē. Izmantosim vienkāršu diagrammu, lai ilustrētu dažas no šīm īpašībām. Uz att. 7.12 parāda trīs sprieguma avotus, kas baro ķēdi, kurā ir rezistori R= 1 oms un R 1 =R 2 \u003d 0,001 omi. Pēdējie divi rezistori ir nepieciešami, lai sprieguma avoti nebūtu ideāli. Izmantojot šo diagrammu, mēs varam parādīt sinusoidālo viļņu pievienošanu zondē. Ievades fails:

Tādas pašas frekvences sinusa viļņu pievienošana

* Parametru secība harmonikas kompleksā izteiksmē

*komponenti: nobīde, amplitūda, frekvence, aizkave, vājināšanās, fāze

v2 2 0 sin(0 1 1kHz 0 0 45); fāze = 45 grādi

v3 3 0 sin(0 1 1kHz 0 0 90); fāze = 90 grādi

Rīsi. 7.12. Shēma vienas frekvences harmonisko signālu pievienošanai

Palaidiet simulāciju un zondes diagrammas v(1), v(2) un v=v(1)+v(2). Iegūtie grafiki parāda spriegumu v 2 ar maksimālo atkāpi aptuveni 45° no maksimuma v 1 , un kopējais spriegums v 1 +v 2 ar maksimumu, kas atrodas starp to maksimālajām vērtībām. Pārliecinieties, ka maksimāli v 1 = 1 V sasniegts pie 251 µs (90°), maksimālais v 2 \u003d 1 V - brīdī 131 μs (47,16 °) un maksimālais v 1 +v 2 \u003d 1,8381 V - brīdī 171 μs (61,56 °). Izdzēsiet šos grafikus un iegūstiet laika atkarības citām spriegumu kombinācijām, piemēram, v(1), v(3) un v(1)+v(3). Pamatojoties uz jūsu spēju pievienot sprieguma vektorus, mēģiniet paredzēt spriegumu summas amplitūdas vērtību, pirms iegūstat zondes diagrammas, kas parādītas 2. attēlā. 7.13.

Rīsi. 7.13. Tādas pašas frekvences harmonisko signālu pievienošanas rezultāts

Ievades failā, kas atbilst shēmai attēlā. 7.12, jūs varat viegli mainīt barošanas bloku parametrus un sastāvu. Dzēsim v 3 un dubultā sprieguma frekvence v 2, lai kļūtu par otro harmonisko frekvenci v viens . Protams, iegūtās svārstības uzreiz kļūs nesinusoidālas. Faktiski tā forma būs atkarīga no fāzes leņķu attiecības v 1 un v 2. Ļaujiet abām harmoniskām sasniegt maksimumu vienlaikus aplūkotajā piemērā. Ievades fails šim gadījumam:

sinusoidālo viļņu pievienošana; Fundamentālā un 2. harmoniskā virsotne kopā

Palaidiet simulāciju un uzzīmējiet v(1), v(2) un v=v(1)+v(2) programmā Probe. Tāpēc ka v 1 un v 2 maksimums vienlaicīgi, iegūtais svārstību maksimums ir 2 V, bet, kad fundamentāls sasniedz negatīvo maksimumu, otrā harmonika atgriežas pozitīvā maksimumā, un to summa kļūst par nulli. Ir skaidrs, ka kopējās svārstības ( v 1 +v 2) nesinusoidāls. Šie grafiki ir parādīti attēlā. 7.14.

Rīsi. 7.14. Pirmās un otrās harmonikas pievienošanas rezultāts

Interesantu amplitūdas modulētas viļņu formas diagrammu var iegūt PSpice, izmantojot harmonisko svārstību reizināšanas funkciju ar ievērojami atšķirīgām frekvencēm. Uz att. 7.15 parāda ķēdi, kas imitē šādu ierīci. Pirmais harmonikas avots ir v 1 ar frekvenci 1 kHz. otrā izcelsme v 2 ir 20 kHz frekvence. Reizināšana tiek veikta atkarīgajā avotā e, kas ir INUN (VCVS). Rezistori ir nepieciešami, lai izvairītos no peldoša potenciāla. Ievades fails:

e 3 0 poli(2) 1,0 2,0 0 0 0 0 1

Rīsi. 7.15. Reizinātājs sinusoidālā viļņa modulācijai

Pēdējie pieci ieraksti polinoma avota ievades komandā ir: 0 0 0 0 1. Atcerieties, ka šīs ir koeficientu vērtības terminos. k 0 , k 1 v 1 , k 2 v 2 , k 3 v 12 un k 4 v 1 v 2. Visas vērtības ir 0, izņemot k 4, kas ir vienāds ar 1.

Palaidiet simulāciju un iegūstiet v(1) un v(3) diagrammas programmā Probe. Harmoniskā komponente ar frekvenci 20 kHz apzināti nav veidota uz vispārējā grafika, lai neapgrūtinātu procesu izpratni. Rezultātā iegūtajām svārstībām v(3) ir klasiskā amplitūdas modulētas svārstības. Šajā piemērā abas ievades harmonikas v 1 un v 2 ir 1 V amplitūda. Grafiki ir parādīti attēlā. 7.16.

Rīsi. 7.16. Amplitūdas modulēto signālu izpētes rezultāts

Atrodoties zondē, pievienojiet vēl vienu ieejas spriegumu v(2), kas attēlots, lai parādītu visus spriegumus: v(1), v(2) un v(3). Tagad šajā grafikā kopā ar pārējiem diviem viļņiem ir nesējs, kas sniedz pilnu attēlu. Saņemiet izdruku turpmākai izpētei, pēc tam izdzēsiet v(2) diagrammu un atlasiet Trace, Furier. Uzstādiet gar asi X diapazona ierobežojumi no 0 līdz 30 kHz. Frekvenču domēns tagad parāda 1,19 kHz un 21 kHz komponentus. Pēdējās sastāvdaļas ir augšējās un apakšējās sānu frekvences, kas izriet no šīs modulācijas. Nosakiet katra no šiem viļņiem amplitūdu. Atcerieties trigonometrisko identitāti,

(grēks a) (grēks b) = 0.5,

kas izskaidro 0,5 V amplitūdas sānjoslas frekvencēm. Skatīt att. 7.17, kas parāda frekvenču spektru. (Marķieri ir noņemti, lai iegūtu skaidrāku attēlu.) Analizējiet ar dažādām modulācijas sprieguma relatīvajām amplitūdām v 1, lai redzētu, kā tas ietekmē modulācijas dziļumu t. Piemēram, kad v 1 ir amplitūda 0,8, kāds ir modulācijas dziļums un kā izskatās iegūtās svārstības?

Rīsi. 7.17. Amplitūdas modulētas svārstības frekvenču spektrs

.ČETRI <частота>*<выходные переменные>

Piemēram, ieraksts

parāda, ka tiek veikta Furjē izplešanās. Sadalīšanu var veikt tikai pēc tam, kad ir iegūta laika atkarība līdzsvara stāvoklim, kas iegūta pārejas analīzē. Šādai komandai ir jābūt ievades failā:

TRAN <шаг><момент окончания>

Harmoniskā analīze dod pamata līdzstrāvas komponentu un visas harmonikas līdz devītajai daļai ieskaitot. To amplitūdas un fāzes tiek parādītas ar faktiskajām un relatīvajām vērtībām. Iepriekšējā piemērā tika analizēti V(1) un V(2) un to komponenti. Parasti harmonikas analīzei tiek izmantota komanda .ZONDE: tomēr tās vietā var izmantot arī komandas .DRUKĀT vai .PLOT.

7.1. Uz att. 7.18 E polinomam ir forma

f(x) = X + X².

Rīsi. 7.18

Izmantojot v i virsotne= 1 V, f=1 kHz un V= 1 Salīdziniet v 0 s v i. Paredzēt izejas sprieguma aptuveno harmonikas saturu; pēc tam veiciet PSpice analīzi, kas parādīs gan ieejas, gan izejas sprieguma harmonisko saturu. Komandā .FOUR izmantojiet spriegumus V(2, 1) un V(3). Pārbaudiet izvades failu un nosakiet V(3) harmonisko saturu.

7.2. 7.1. uzdevumā izmantojiet Trace, Furjē, lai iegūtu V(3) harmonisko saturu. Parādot V(2,1) un V(3), iestatiet asi X ierobežojumi no 0 līdz 5 kHz.

7.3. Veiciet problēmas 7.1 analīzi ar

f(x) = 2 + 0,1x².

Paredzēt izejas sprieguma aptuveno harmonikas saturu; pēc tam uzzīmējiet V(2,1) un V(3), lai pārbaudītu savu prognožu precizitāti.

7.4. Uz att. 7.4 parāda polinoma avotu E. Tas tika dots kā

f(X) = 1 + X + X².

Mainiet polinomu uz

f(X) = X + X²,

un veikt sintēzi un sadalīšanos, mainot i 1 un i 2 tā, lai strāva I(r) atbilstu sprieguma V(2) formai.

7.5. Šīs nodaļas sadaļā "Otrie harmoniskie kropļojumi pastiprinātājos" aizstājiet polinomu ar šādu:

f(X) = 0,05 + X + 0,1X²,

un palaidiet analīzi vietnē PSpice, kā ieteikts tekstā. Iegūstiet diagrammu V(1) un (V)2-0,05, lai salīdzinātu mainīgo ieejas un izejas spriegumu. Prognozējiet izejas sprieguma līdzstrāvas komponenta vērtības, otrās harmonikas amplitūdu un fāzi, kā arī kopējo harmonisko kropļojumu. Pārbaudiet savas prognozes, salīdzinot ar Probe un izvades faila rezultātiem.

7.6. Sadaļā Intermodulation Distortion mēs apvienojām divus dažādu frekvenču sinusoidālus viļņus. Veiciet analīzi frekvencēs f 1 = 2 kHz un f 2 = 2,5 kHz, atstājot izteiksmi par f(X) bez izmaiņām. Pārveidojiet komandu .TRAN atbilstoši uzdevumam. Veiciet darbības tādā pašā secībā kā teksta piemērā, lai pārbaudītu prognozes par izejas sprieguma harmonisko saturu.

7.7. Sadaļā "Harmoniku pievienošana" att. 7.12 parāda paralēlus zarus ar trim sprieguma avotiem. Harmoniku pievienošana bija vairāk matemātiska nekā fiziska. Mainiet ķēdi tā, lai visi sprieguma avoti būtu savienoti virknē, pēc tam vēlreiz veiciet analīzi. Vai saņēmāt tādus pašus rezultātus?

7.8. Veiciet analīzi, lai pievienotu šādus vienas frekvences harmoniskos spriegumus f=1 kHz:

v 1 = 0,5∠0°V, v 2 =1∠45°V un v 23 = 1,5∠90° V.

Kurā:

a) Atrodiet maksimālo vērtību ( v 1 +v 2), kā arī laiks un fāzes leņķis, pie kura tiek sasniegts maksimums.

b) Atkārtojiet a) darbību ar ( v 1 +v 3).

Izmantojot kursora režīmu un vairākas diagrammas vienā ekrānā, izmantojiet [ ctrl] un bultiņas ← un →, lai atlasītu, uz kuru no grafikiem kursoram jāpārvietojas.

7.9. Lai ilustrētu harmoniku ar tuvu frekvenci pievienošanas efektu, veiciet analīzi, kā norādīts 7.8. uzdevumā, šādai parametru kopai: v 1 = 1∠0° V, f 1 = 1 kHz, v 1 = 1∠0° V, f 2 \u003d 1,2 kHz, v 1 =1∠0° V un f 3 = 1,4 kHz:

a) Iegūstiet diagrammas v 1 , v 2 un ( v 1 +v 2). Atrodiet maksimālo vērtību ( v 1 +v 2).

b) Iegūstiet diagrammas v 1 , v 3 un ( v 1 +v 3). Atrodiet maksimālo vērtību ( v 1 +v 3).

7.10. Atrisiniet problēmu no sadaļas par amplitūdas modulāciju, iestatot v 1 = 1 V pie 1 kHz, un mainās v 1, lai modulācijas dziļums būtu 0,5. Palaidiet analīzi vietnē PSpice, lai parādītu rezultātus.