Регрессионная статистика в excel. Быстрое построение линейной регрессии в Excel: линия тренда

28 Окт

Добрый день, уважаемые читатели блога! Сегодня мы поговорим о нелинейных регрессиях. Решение линейных регрессий можно посмотреть по ССЫЛКЕ .

Данный способ применяется, в основном, в экономическом моделировании и прогнозировании. Его цель – пронаблюдать и выявить зависимости между двумя показателями.

Основными типами нелинейных регрессий являются:

• полиномиальные (квадратичная, кубическая);
• гиперболическая;
• степенная;
• показательная;
• логарифмическая.

Также могут применяться различные комбинации. Например, для аналитики временных рядов в банковской сфере, страховании, демографических исследованиях используют кривую Гомпцера, которая является разновидностью логарифмической регрессии.

В прогнозировании с помощью нелинейных регрессий главное выяснить коэффициент корреляции, который покажет нам есть ли тесная взаимосвязь меду двумя параметрами или нет. Как правило, если коэффициент корреляции близок к 1, значит связь есть, и прогноз будет довольно точен. Ещё одним важным элементом нелинейных регрессий является средняя относительная ошибка (А ), если она находится в промежутке <8…10%, значит модель достаточно точна.

На этом, пожалуй, теоретический блок мы закончим и перейдём к практическим вычислениям.

У нас имеется таблица продаж автомобилей за промежуток 15 лет (обозначим его X), количество шагов измерений будет аргумент n, также имеется выручка за эти периоды (обозначим её Y), нам нужно спрогнозировать какова будет выручка в дальнейшем. Построим следующую таблицу:

Для исследования нам потребуется решить уравнение (зависимости Y от X): y=ax 2 +bx+c+e. Это парная квадратичная регрессия. Применим в этом случае метод наименьших квадратов, для выяснения неизвестных аргументов — a, b, c. Он приведёт к системе алгебраических уравнений вида:

Для решения этой системы воспользуемся, к примеру, методом Крамера. Видим, что входящие в систему суммы являются коэффициентами при неизвестных. Для их вычисления добавим в таблицу несколько столбцов (D,E,F,G,H) и подпишем соответственно смыслу вычислений — в столбце D возведём x в квадрат, в E в куб, в F в 4 степень, в G перемножим показатели x и y, в H возведём x в квадрат и перемножим с y.

Получится заполненная нужными для решения уравнения таблица вида.

Сформируем матрицу A системы, состоящую из коэффициентов при неизвестных в левых частях уравнений. Поместим её в ячейку А22 и назовём «А= «. Следуем той системе уравнений, которую мы избрали для решения регрессии.

То есть, в ячейку B21 мы должны поместить сумму столбца, где возводили показатель X в четвёртую степень — F17. Просто сошлёмся на ячейку — «=F17». Далее нам необходима сумма столбца где возводили X в куб — E17, далее идём строго по системе. Таким образом, нам необходимо будет заполнить всю матрицу.

В соответствии с алгоритмом Крамера наберём матрицу А1, подобную А, в которой вместо элементов первого столбца должны размещаться элементы правых частей уравнений системы. То есть сумма столбца X в квадрате умноженная на Y, сумма столбца XY и сумма столбца Y.

Также нам понадобятся ещё две матрицы — назовём их А2 и А3 в которых второй и третий столбцы будут состоять из коэффициентов правых частей уравнений. Картина будет такова.

Следуя избранному алгоритму, нам нужно будет вычислить значения определителей (детерминантов, D) полученных матриц. Воспользуемся формулой МОПРЕД. Результаты разместим в ячейках J21:K24.

Расчёт коэффициентов уравнения по Крамеру будем производить в ячейках напротив соответствующих детерминантов по формуле: a (в ячейке M22) — «=K22/K21»; b (в ячейке M23) — «=K23/K21»; с (в ячейке M24) — «=K24/K21».

Получим наше искомое уравнение парной квадратичной регрессии:

y=-0,074x 2 +2,151x+6,523

Оценим тесноту линейной связи индексом корреляции.

Для вычисления добавим в таблицу дополнительный столбец J (назовём его y*). Расчёта будет следующей (согласно полученному нами уравнению регрессии) — «=$m$22*B2*B2+$M$23*B2+$M$24». Поместим её в ячейку J2. Останется протянуть вниз маркер автозаполнения до ячейки J16.

Для вычисления сумм (Y-Y усредненное) 2 добавим в таблицу столбцы K и L с соответствующими формулами. Среднее по столбцу Y посчитаем с помощью функции СРЗНАЧ.

В ячейке K25 разместим формулу подсчёта индекса корреляции — «=КОРЕНЬ(1-(K17/L17))».

Видим, что значение 0,959 очень близко к 1, значит между продажами и годами есть тесная нелинейная связь.

Осталось оценить качество подгонки полученного квадратичного уравнения регрессии (индекс детерминации). Он рассчитывается по формуле квадрата индекса корреляции. То есть формула в ячейке K26 будет очень проста — «=K25*K25».

Коэффициент 0,920 близок к 1, что свидетельствует о высоком качестве подгонки.

Последним действием будет вычисление относительной ошибки. Добавим столбец и внесём туда формулу: «=ABS((C2-J2)/C2), ABS — модуль, абсолютное значение. Протянем маркером вниз и в ячейке M18 выведем среднее значение (СРЗНАЧ), назначим ячейкам процентный формат. Полученный результат — 7,79% находится в пределах допустимых значений ошибки <8…10%. Значит вычисления достаточно точны.

Если возникнет необходимость, по полученным значениям мы можем построить график.

Файл с примером прилагается — ССЫЛКА !

Регрессионный анализ — это статистический метод исследования, позволяющий показать зависимость того или иного параметра от одной либо нескольких независимых переменных. В докомпьютерную эру его применение было достаточно затруднительно, особенно если речь шла о больших объемах данных. Сегодня, узнав как построить регрессию в Excel, можно решать сложные статистические задачи буквально за пару минут. Ниже представлены конкретные примеры из области экономики.

Виды регрессии

Само это понятие было введено в математику в 1886 году. Регрессия бывает:

• линейной;
• параболической;
• степенной;
• экспоненциальной;
• гиперболической;
• показательной;
• логарифмической.

Пример 1

Рассмотрим задачу определения зависимости количества уволившихся членов коллектива от средней зарплаты на 6 промышленных предприятиях.

Задача. На шести предприятиях проанализировали среднемесячную заработную плату и количество сотрудников, которые уволились по собственному желанию. В табличной форме имеем:

Для задачи определения зависимости количества уволившихся работников от средней зарплаты на 6 предприятиях модель регрессии имеет вид уравнения Y = а 0 + а 1 x 1 +…+а k x k , где х i — влияющие переменные, a i — коэффициенты регрессии, a k — число факторов.

Для данной задачи Y — это показатель уволившихся сотрудников, а влияющий фактор — зарплата, которую обозначаем X.

Использование возможностей табличного процессора «Эксель»

Анализу регрессии в Excel должно предшествовать применение к имеющимся табличным данным встроенных функций. Однако для этих целей лучше воспользоваться очень полезной надстройкой «Пакет анализа». Для его активации нужно:

• с вкладки «Файл» перейти в раздел «Параметры»;
• в открывшемся окне выбрать строку «Надстройки»;
• щелкнуть по кнопке «Перейти», расположенной внизу, справа от строки «Управление»;
• поставить галочку рядом с названием «Пакет анализа» и подтвердить свои действия, нажав «Ок».

Если все сделано правильно, в правой части вкладки «Данные», расположенном над рабочим листом «Эксель», появится нужная кнопка.

в Excel

Теперь, когда под рукой есть все необходимые виртуальные инструменты для осуществления эконометрических расчетов, можем приступить к решению нашей задачи. Для этого:

• щелкаем по кнопке «Анализ данных»;
• в открывшемся окне нажимаем на кнопку «Регрессия»;
• в появившуюся вкладку вводим диапазон значений для Y (количество уволившихся работников) и для X (их зарплаты);
• подтверждаем свои действия нажатием кнопки «Ok».

В результате программа автоматически заполнит новый лист табличного процессора данными анализа регрессии. Обратите внимание! В Excel есть возможность самостоятельно задать место, которое вы предпочитаете для этой цели. Например, это может быть тот же лист, где находятся значения Y и X, или даже новая книга, специально предназначенная для хранения подобных данных.

Анализ результатов регрессии для R-квадрата

В Excel данные полученные в ходе обработки данных рассматриваемого примера имеют вид:

Прежде всего, следует обратить внимание на значение R-квадрата. Он представляет собой коэффициент детерминации. В данном примере R-квадрат = 0,755 (75,5%), т. е. расчетные параметры модели объясняют зависимость между рассматриваемыми параметрами на 75,5 %. Чем выше значение коэффициента детерминации, тем выбранная модель считается более применимой для конкретной задачи. Считается, что она корректно описывает реальную ситуацию при значении R-квадрата выше 0,8. Если R-квадрата<0,5, то такой анализа регрессии в Excel нельзя считать резонным.

Анализ коэффициентов

Число 64,1428 показывает, каким будет значение Y, если все переменные xi в рассматриваемой нами модели обнулятся. Иными словами можно утверждать, что на значение анализируемого параметра оказывают влияние и другие факторы, не описанные в конкретной модели.

Следующий коэффициент -0,16285, расположенный в ячейке B18, показывает весомость влияния переменной Х на Y. Это значит, что среднемесячная зарплата сотрудников в пределах рассматриваемой модели влияет на число уволившихся с весом -0,16285, т. е. степень ее влияния совсем небольшая. Знак «-» указывает на то, что коэффициент имеет отрицательное значение. Это очевидно, так как всем известно, что чем больше зарплата на предприятии, тем меньше людей выражают желание расторгнуть трудовой договор или увольняется.

Множественная регрессия

Под таким термином понимается уравнение связи с несколькими независимыми переменными вида:

y=f(x 1 +x 2 +…x m) + ε, где y — это результативный признак (зависимая переменная), а x 1 , x 2 , …x m — это признаки-факторы (независимые переменные).

Оценка параметров

Для множественной регрессии (МР) ее осуществляют, используя метод наименьших квадратов (МНК). Для линейных уравнений вида Y = a + b 1 x 1 +…+b m x m + ε строим систему нормальных уравнений (см. ниже)

Чтобы понять принцип метода, рассмотрим двухфакторный случай. Тогда имеем ситуацию, описываемую формулой

Отсюда получаем:

где σ — это дисперсия соответствующего признака, отраженного в индексе.

МНК применим к уравнению МР в стандартизируемом масштабе. В таком случае получаем уравнение:

в котором t y , t x 1, … t xm — стандартизируемые переменные, для которых средние значения равны 0; β i — стандартизированные коэффициенты регрессии, а среднеквадратическое отклонение — 1.

Обратите внимание, что все β i в данном случае заданы, как нормируемые и централизируемые, поэтому их сравнение между собой считается корректным и допустимым. Кроме того, принято осуществлять отсев факторов, отбрасывая те из них, у которых наименьшие значения βi.

Задача с использованием уравнения линейной регрессии

Предположим, имеется таблица динамики цены конкретного товара N в течение последних 8 месяцев. Необходимо принять решение о целесообразности приобретения его партии по цене 1850 руб./т.

Для решения этой задачи в табличном процессоре «Эксель» требуется задействовать уже известный по представленному выше примеру инструмент «Анализ данных». Далее выбирают раздел «Регрессия» и задают параметры. Нужно помнить, что в поле «Входной интервал Y» должен вводиться диапазон значений для зависимой переменной (в данном случае цены на товар в конкретные месяцы года), а в «Входной интервал X» — для независимой (номер месяца). Подтверждаем действия нажатием «Ok». На новом листе (если так было указано) получаем данные для регрессии.

Строим по ним линейное уравнение вида y=ax+b, где в качестве параметров a и b выступают коэффициенты строки с наименованием номера месяца и коэффициенты и строки «Y-пересечение» из листа с результатами регрессионного анализа. Таким образом, линейное уравнение регрессии (УР) для задачи 3 записывается в виде:

Цена на товар N = 11,714* номер месяца + 1727,54.

или в алгебраических обозначениях

y = 11,714 x + 1727,54

Анализ результатов

Чтобы решить, адекватно ли полученное уравнения линейной регрессии, используются коэффициенты множественной корреляции (КМК) и детерминации, а также критерий Фишера и критерий Стьюдента. В таблице «Эксель» с результатами регрессии они выступают под названиями множественный R, R-квадрат, F-статистика и t-статистика соответственно.

КМК R дает возможность оценить тесноту вероятностной связи между независимой и зависимой переменными. Ее высокое значение свидетельствует о достаточно сильной связи между переменными «Номер месяца» и «Цена товара N в рублях за 1 тонну». Однако, характер этой связи остается неизвестным.

Квадрат коэффициента детерминации R 2 (RI) представляет собой числовую характеристику доли общего разброса и показывает, разброс какой части экспериментальных данных, т.е. значений зависимой переменной соответствует уравнению линейной регрессии. В рассматриваемой задаче эта величина равна 84,8%, т. е. статистические данные с высокой степенью точности описываются полученным УР.

F-статистика, называемая также критерием Фишера, используется для оценки значимости линейной зависимости, опровергая или подтверждая гипотезу о ее существовании.

(критерий Стьюдента) помогает оценивать значимость коэффициента при неизвестной либо свободного члена линейной зависимости. Если значение t-критерия > t кр, то гипотеза о незначимости свободного члена линейного уравнения отвергается.

В рассматриваемой задаче для свободного члена посредством инструментов «Эксель» было получено, что t=169,20903, а p=2,89Е-12, т. е. имеем нулевую вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости свободного члена. Для коэффициента при неизвестной t=5,79405, а p=0,001158. Иными словами вероятность того, что будет отвергнута верная гипотеза о незначимости коэффициента при неизвестной, равна 0,12%.

Таким образом, можно утверждать, что полученное уравнение линейной регрессии адекватно.

Задача о целесообразности покупки пакета акций

Множественная регрессия в Excel выполняется с использованием все того же инструмента «Анализ данных». Рассмотрим конкретную прикладную задачу.

Руководство компания «NNN» должно принять решение о целесообразности покупки 20 % пакета акций АО «MMM». Стоимость пакета (СП) составляет 70 млн американских долларов. Специалистами «NNN» собраны данные об аналогичных сделках. Было принято решение оценивать стоимость пакета акций по таким параметрам, выраженным в миллионах американских долларов, как:

• кредиторская задолженность (VK);
• объем годового оборота (VO);
• дебиторская задолженность (VD);
• стоимость основных фондов (СОФ).

Кроме того, используется параметр задолженность предприятия по зарплате (V3 П) в тысячах американских долларов.

Решение средствами табличного процессора Excel

Прежде всего, необходимо составить таблицу исходных данных. Она имеет следующий вид:

• вызывают окно «Анализ данных»;
• выбирают раздел «Регрессия»;
• в окошко «Входной интервал Y» вводят диапазон значений зависимых переменных из столбца G;
• щелкают по иконке с красной стрелкой справа от окна «Входной интервал X» и выделяют на листе диапазон всех значений из столбцов B,C, D, F.

Отмечают пункт «Новый рабочий лист» и нажимают «Ok».

Получают анализ регрессии для данной задачи.

Изучение результатов и выводы

«Собираем» из округленных данных, представленных выше на листе табличного процессора Excel, уравнение регрессии:

СП = 0,103*СОФ + 0,541*VO - 0,031*VK +0,405*VD +0,691*VZP - 265,844.

В более привычном математическом виде его можно записать, как:

y = 0,103*x1 + 0,541*x2 - 0,031*x3 +0,405*x4 +0,691*x5 - 265,844

Данные для АО «MMM» представлены в таблице:

Подставив их в уравнение регрессии, получают цифру в 64,72 млн американских долларов. Это значит, что акции АО «MMM» не стоит приобретать, так как их стоимость в 70 млн американских долларов достаточно завышена.

Как видим, использование табличного процессора «Эксель» и уравнения регрессии позволило принять обоснованное решение относительно целесообразности вполне конкретной сделки.

Теперь вы знаете, что такое регрессия. Примеры в Excel, рассмотренные выше, помогут вам в решение практических задач из области эконометрики.

В Excel имеется еще более быстрый и удобный способ построить график линейной регрессии (и даже основных видов нелинейных регрессий, о чем см. далее). Это можно сделать следующим образом:

1) выделить столбцы с данными X и Y (они должны располагаться именно в таком порядке!);

2) вызвать Мастер диаграмм и выбрать в группе Тип – Точечная и сразу нажать Готово ;

3) не сбрасывая выделения с диаграммы, выбрать появившейся пункт основного меню Диаграмма , в котором следует выбрать пункт Добавить линию тренда ;

4) в появившемся диалоговом окне Линия тренда во вкладке Тип выбрать Линейная ;

5) во вкладке Параметры можно активизировать переключатель Показывать уравнение на диаграмме , что позволит увидеть уравнение линейной регрессии (4.4), в котором будут вычислены коэффициенты (4.5).

6) В этой же вкладке можно активизировать переключатель Поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2) . Эта величина есть квадрат коэффициента корреляции (4.3) и она показывает, насколько хорошо рассчитанное уравнение описывает экспериментальную зависимость. Если R 2 близок к единице, то теоретическое уравнение регрессии хорошо описывает экспериментальную зависимость (теория хорошо согласуется с экспериментом), а если R 2 близок к нулю, то данное уравнение не пригодно для описания экспериментальной зависимости (теория не согласуется с экспериментом).

В результате выполнения описанных действий получится диаграмма с графиком регрессии и ее уравнением.

§4.3. Основные виды нелинейной регрессии

Параболическая и полиномиальная регрессии.

Параболической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость, выраженная квадратичной функцией (параболой 2-ого порядка):

Это уравнение называется уравнением параболической регрессии Y на Х . Параметры а , b , с называются коэффициентами параболической регрессии . Вычисление коэффициентов параболической регрессии всегда громоздко, поэтому для расчетов рекомендуется использовать компьютер.

Уравнение (4.8) параболической регрессии является частным случаем более общей регрессии, называемой полиномиальной. Полиномиальной зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость, выраженная полиномом n -ого порядка:

где числа а i (i =0,1,…, n ) называются коэффициентами полиномиальной регрессии .

Степенная регрессия.

Степенной зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

Это уравнение называется уравнением степенной регрессии Y на Х . Параметры а и b называются коэффициентами степенной регрессии .

ln =lna +b· lnx . (4.11)

Это уравнение описывает прямую на плоскости с логарифмическими координатными осями lnx и ln . Поэтому критерием применимости степенной регрессии служит требование того, чтобы точки логарифмов эмпирических данных lnx i и lnу i находились ближе всего к прямой (4.11).

Показательная регрессия.

Показательной (или экспоненциальной ) зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

(или ). (4.12)

Это уравнение называется уравнением показательной (или экспоненциальной ) регрессии Y на Х . Параметры а (или k ) и b называются коэффициентами показательной (или экспоненциальной ) регрессии .

Если прологарифмировать обе части уравнения степенной регрессии, то получится уравнение

ln =x· lna +lnb (или ln =k·x +lnb ). (4.13)

Это уравнение описывает линейную зависимость логарифма одной величины ln от другой величины x . Поэтому критерием применимости степенной регрессии служит требование того, чтобы точки эмпирических данных одной величины x i и логарифмы другой величины lnу i находились ближе всего к прямой (4.13).

Логарифмическая регрессия.

Логарифмической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

=a +b· lnx . (4.14)

Это уравнение называется уравнением логарифмической регрессии Y на Х . Параметры а и b называются коэффициентами логарифмической регрессии .

Гиперболическая регрессия.

Гиперболической зависимостью величины Y от величины Х называется зависимость вида:

Это уравнение называется уравнением гиперболической регрессии Y на Х . Параметры а и b называются коэффициентами гиперболической регрессии и определяются методом наименьших квадратов. Применение этого метода приводит к формулам:

В формулах (4.16-4.17) суммирование проводится по индексу i от единицы до количества наблюдений n .

К сожалению, в Excel нет функции, вычисляющих коэффициенты гиперболической регрессии. В тех случаях, когда заведомо не известно, что измеряемые величины связаны обратной пропорциональностью, рекомендуется вместо уравнения гиперболической регрессии искать уравнение степенной регрессии, так в Excel имеется процедура ее нахождения. Если же между измеряемыми величинами предполагается гиперболическая зависимость, то коэффициенты ее регрессии придется вычислять с помощью вспомогательных расчетных таблиц и операций суммирования по формулам (4.16-4.17).

Регрессионный и корреляционный анализ – статистические методы исследования. Это наиболее распространенные способы показать зависимость какого-либо параметра от одной или нескольких независимых переменных.

Ниже на конкретных практических примерах рассмотрим эти два очень популярные в среде экономистов анализа. А также приведем пример получения результатов при их объединении.

Регрессионный анализ в Excel

Показывает влияние одних значений (самостоятельных, независимых) на зависимую переменную. К примеру, как зависит количество экономически активного населения от числа предприятий, величины заработной платы и др. параметров. Или: как влияют иностранные инвестиции, цены на энергоресурсы и др. на уровень ВВП.

Результат анализа позволяет выделять приоритеты. И основываясь на главных факторах, прогнозировать, планировать развитие приоритетных направлений, принимать управленческие решения.

Регрессия бывает:

• линейной (у = а + bx);
• параболической (y = a + bx + cx 2);
• экспоненциальной (y = a * exp(bx));
• степенной (y = a*x^b);
• гиперболической (y = b/x + a);
• логарифмической (y = b * 1n(x) + a);
• показательной (y = a * b^x).

Рассмотрим на примере построение регрессионной модели в Excel и интерпретацию результатов. Возьмем линейный тип регрессии.

Задача. На 6 предприятиях была проанализирована среднемесячная заработная плата и количество уволившихся сотрудников. Необходимо определить зависимость числа уволившихся сотрудников от средней зарплаты.

Модель линейной регрессии имеет следующий вид:

У = а 0 + а 1 х 1 +…+а к х к.

Где а – коэффициенты регрессии, х – влияющие переменные, к – число факторов.

В нашем примере в качестве У выступает показатель уволившихся работников. Влияющий фактор – заработная плата (х).

В Excel существуют встроенные функции, с помощью которых можно рассчитать параметры модели линейной регрессии. Но быстрее это сделает надстройка «Пакет анализа».

Активируем мощный аналитический инструмент:

После активации надстройка будет доступна на вкладке «Данные».

Теперь займемся непосредственно регрессионным анализом.

В первую очередь обращаем внимание на R-квадрат и коэффициенты.

R-квадрат – коэффициент детерминации. В нашем примере – 0,755, или 75,5%. Это означает, что расчетные параметры модели на 75,5% объясняют зависимость между изучаемыми параметрами. Чем выше коэффициент детерминации, тем качественнее модель. Хорошо – выше 0,8. Плохо – меньше 0,5 (такой анализ вряд ли можно считать резонным). В нашем примере – «неплохо».

Коэффициент 64,1428 показывает, каким будет Y, если все переменные в рассматриваемой модели будут равны 0. То есть на значение анализируемого параметра влияют и другие факторы, не описанные в модели.

Коэффициент -0,16285 показывает весомость переменной Х на Y. То есть среднемесячная заработная плата в пределах данной модели влияет на количество уволившихся с весом -0,16285 (это небольшая степень влияния). Знак «-» указывает на отрицательное влияние: чем больше зарплата, тем меньше уволившихся. Что справедливо.

Корреляционный анализ в Excel

Корреляционный анализ помогает установить, есть ли между показателями в одной или двух выборках связь. Например, между временем работы станка и стоимостью ремонта, ценой техники и продолжительностью эксплуатации, ростом и весом детей и т.д.

Если связь имеется, то влечет ли увеличение одного параметра повышение (положительная корреляция) либо уменьшение (отрицательная) другого. Корреляционный анализ помогает аналитику определиться, можно ли по величине одного показателя предсказать возможное значение другого.

Коэффициент корреляции обозначается r. Варьируется в пределах от +1 до -1. Классификация корреляционных связей для разных сфер будет отличаться. При значении коэффициента 0 линейной зависимости между выборками не существует.

Рассмотрим, как с помощью средств Excel найти коэффициент корреляции.

Для нахождения парных коэффициентов применяется функция КОРРЕЛ.

Задача: Определить, есть ли взаимосвязь между временем работы токарного станка и стоимостью его обслуживания.

Ставим курсор в любую ячейку и нажимаем кнопку fx.

1. В категории «Статистические» выбираем функцию КОРРЕЛ.
2. Аргумент «Массив 1» - первый диапазон значений – время работы станка: А2:А14.
3. Аргумент «Массив 2» - второй диапазон значений – стоимость ремонта: В2:В14. Жмем ОК.

Чтобы определить тип связи, нужно посмотреть абсолютное число коэффициента (для каждой сферы деятельности есть своя шкала).

Для корреляционного анализа нескольких параметров (более 2) удобнее применять «Анализ данных» (надстройка «Пакет анализа»). В списке нужно выбрать корреляцию и обозначить массив. Все.

Полученные коэффициенты отобразятся в корреляционной матрице. Наподобие такой:

Корреляционно-регрессионный анализ

На практике эти две методики часто применяются вместе.

Пример:

Теперь стали видны и данные регрессионного анализа.

Пакет MS Excel позволяет при построении уравнения линейной регрессии большую часть работы сделать очень быстро. Важно понять, как интерпретировать полученные результаты.

Для работы необходима надстройка Пакет анализа , которую необходимо включить в пункте меню Сервис\Надстройки

В Excel 2007 для включения пакета анализа надо нажать перейти в блок Параметры Excel , нажав кнопку в левом верхнем углу, а затем кнопку «Параметры Excel » внизу окна:

Для построения модели регрессии необходимо выбрать пункт Сервис\Анализ данных\Регрессия . (В Excel 2007 этот режим находится в блоке Данные/Анализ данных/ Регрессия ). Появится диалоговое окно, которое нужно заполнить:

1) Входной интервал Y ¾ содержит ссылку на ячейки, которые содержат значения результативного признака y . Значения должны быть расположены в столбце;

2) Входной интервал X ¾ содержит ссылку на ячейки, которые содержат значения факторов . Значения должны быть расположены в столбцах;

3) Признак Метки ставится, если первые ячейки содержат пояснительный текст (подписи данных);

4) Уровень надежности ¾ это доверительная вероятность, которая по умолчанию считается равной 95%. Если это значение не устраивает, то нужно включить этот признак и ввести требуемое значение;

5) Признак Константа-ноль включается, если необходимо построить уравнение, в котором свободная переменная ;

6) Параметры вывода определяют, куда должны быть помещены результаты. По умолчанию строит режим Новый рабочий лист ;

7) Блок Остатки позволяет включать вывод остатков и построение их графиков.

В результате выводится информация, содержащая все необходимые сведения и сгруппированная в три блока: Регрессионная статистика , Дисперсионный анализ , Вывод остатка . Рассмотрим их подробнее.

1. Регрессионная статистика :

множественный R определяется формулой (коэффициент корреляции Пирсона );

R (коэффициент детерминации );

Нормированный R -квадрат вычисляется по формуле (используется для множественной регрессии);

Стандартная ошибка S вычисляется по формуле ;

Наблюдения ¾ это количество данных n .

2. Дисперсионный анализ , строка Регрессия :

Параметр df равен m (количество наборов факторов x );

Параметр SS определяется формулой ;

Параметр MS определяется формулой ;

Статистика F определяется формулой ;

Значимость F . Если полученное число превышает , то принимается гипотеза (нет линейной взаимосвязи), иначе принимается гипотеза (есть линейная взаимосвязь).

3. Дисперсионный анализ , строка Остаток :

Параметр df равен ;

Параметр SS определяется формулой ;

Параметр MS определяется формулой .

4. Дисперсионный анализ , строка Итого содержит сумму первых двух столбцов.

5. Дисперсионный анализ , строка Y-пересечение содержит значение коэффициента , стандартной ошибки и t -статистики .

P -значение ¾ это значение уровней значимости, соответствующее вычисленным t -статистикам. Определяется функцией СТЬЮДРАСП(t -статистика; ). Если P -значение превышает , то соответствующая переменная статистически незначима и ее можно исключить из модели.

Нижние 95% и Верхние 95% ¾ это нижние и верхние границы 95-процентных доверительных интервалов для коэффициентов теоретического уравнения линейной регрессии. Если в блоке ввода данных значение доверительной вероятности было оставлено по умолчанию, то последние два столбца будут дублировать предыдущие. Если пользователь ввел свое значение доверительной вероятности, то последние два столбца содержат значения нижней и верхней границы для указанной доверительной вероятности.

6. Дисперсионный анализ , строки содержат значения коэффициентов, стандартных ошибок, t -статистик, P -значений и доверительных интервалов для соответствующих .

7. Блок Вывод остатка содержит значения предсказанного y (в наших обозначениях это ) и остатки .