ปัจจัยทั่วไปใดที่สามารถนำออกจากวงเล็บได้? วงเล็บเหลี่ยมปัจจัยร่วม กฎ ตัวอย่าง

ภายในกรอบการศึกษาการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ หัวข้อการนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บเป็นสิ่งสำคัญมาก ในบทความนี้ เราจะอธิบายว่าการเปลี่ยนแปลงดังกล่าวคืออะไร รับกฎพื้นฐาน และวิเคราะห์ตัวอย่างปัญหาทั่วไป

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

แนวคิดในการนำตัวประกอบออกจากวงเล็บ

หากต้องการใช้การแปลงนี้ให้สำเร็จ คุณจำเป็นต้องรู้ว่านิพจน์นั้นใช้สำหรับอะไร และผลลัพธ์ใดที่ควรได้รับในตอนท้าย ให้เราชี้แจงประเด็นเหล่านี้

คุณสามารถนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บในนิพจน์ที่แสดงผลรวมซึ่งแต่ละคำเป็นผลคูณ และในแต่ละผลิตภัณฑ์จะมีปัจจัยหนึ่งที่มีร่วมกัน (เหมือนกัน) สำหรับทุกคน นี่เรียกว่าปัจจัยร่วม นี่คือสิ่งที่เราจะออกจากวงเล็บ ดังนั้นถ้าเรามีผลงาน 5 3และ 5 4,จากนั้นเราก็นำตัวประกอบร่วม 5 ออกจากวงเล็บได้

การเปลี่ยนแปลงนี้ประกอบด้วยอะไรบ้าง? ในระหว่างนั้น เราแสดงนิพจน์ดั้งเดิมเป็นผลคูณของปัจจัยร่วมและนิพจน์ในวงเล็บที่มีผลรวมของคำศัพท์ดั้งเดิมทั้งหมด ยกเว้นปัจจัยร่วม

ลองมาตัวอย่างที่ให้ไว้ข้างต้น ลองบวกตัวประกอบร่วมของ 5 กัน 5 3และ 5 4และเราได้ 5 (3 + 4) . นิพจน์สุดท้ายคือผลคูณของตัวประกอบร่วม 5 โดยนิพจน์ในวงเล็บ ซึ่งเป็นผลรวมของพจน์เดิมที่ไม่มี 5

การแปลงนี้ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติการกระจายของการคูณ ซึ่งเราได้ศึกษาไปแล้ว ในรูปแบบตัวอักษรสามารถเขียนได้เป็น ก (b + c) = ข + ก- เมื่อเปลี่ยนด้านขวาไปทางซ้ายเราจะเห็นรูปแบบการนำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

กฎสำหรับการเอาตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

จากทั้งหมดที่กล่าวมาข้างต้น เราได้กฎพื้นฐานสำหรับการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว:

คำจำกัดความ 1

หากต้องการลบตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ คุณต้องเขียนนิพจน์ดั้งเดิมเป็นผลคูณของตัวประกอบร่วมและวงเล็บที่รวมผลรวมเดิมโดยไม่มีตัวประกอบร่วม

ตัวอย่างที่ 1

ลองใช้ตัวอย่างง่ายๆ ของการเรนเดอร์ เรามีนิพจน์ตัวเลข 3 7 + 3 2 - 3 5ซึ่งเป็นผลรวมของสามเทอม 3 · 7, 3 · 2 และตัวประกอบร่วม 3 โดยยึดกฎที่เราได้รับมาเป็นพื้นฐาน เราจะเขียนผลคูณเป็น 3 (7 + 2 - 5)- นี่คือผลลัพธ์ของการเปลี่ยนแปลงของเรา โซลูชันทั้งหมดมีลักษณะดังนี้: 3 7 + 3 2 − 3 5 = 3 (7 + 2 − 5).

เราสามารถใส่ตัวประกอบออกจากวงเล็บได้ไม่เพียงแต่ในรูปแบบตัวเลขเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนิพจน์ตามตัวอักษรด้วย ตัวอย่างเช่นใน 3 x - 7 x + 2คุณสามารถนำตัวแปร x ออกมาแล้วรับได้ 3 x − 7 x + 2 = x (3 − 7) + 2ในการแสดงออก (x 2 + y) x y - (x 2 + y) x 3– ปัจจัยร่วม (x2+ย)และเข้าไปในที่สุด (x 2 + y) · (x · y - x 3).

ไม่สามารถระบุได้ทันทีว่าปัจจัยใดเป็นปัจจัยร่วมเสมอไป บางครั้งนิพจน์ต้องถูกแปลงก่อนโดยการแทนที่ตัวเลขและนิพจน์ด้วยผลคูณที่เท่ากัน

ตัวอย่างที่ 2

ตัวอย่างเช่นในนิพจน์ 6 x + 4 ปีเป็นไปได้ที่จะได้รับปัจจัยร่วม 2 ที่ไม่ได้เขียนไว้อย่างชัดเจน ในการค้นหา เราต้องแปลงนิพจน์ดั้งเดิมโดยแสดงหกเป็น 2 · 3 และสี่เป็น 2 · 2 นั่นคือ 6 x + 4 ปี = 2 3 x + 2 2 ปี = 2 (3 x + 2 ปี)- หรือในการแสดงออก x 3 + x 2 + 3 xเราสามารถเอาปัจจัยร่วม x ออกจากวงเล็บซึ่งจะแสดงหลังจากการแทนที่ x3บน x · x 2 .การเปลี่ยนแปลงนี้เป็นไปได้เนื่องจากคุณสมบัติพื้นฐานของระดับ เป็นผลให้เราได้นิพจน์ x (x 2 + x + 3).

อีกกรณีหนึ่งที่ควรพูดคุยแยกกันคือการลบเครื่องหมายลบออกจากวงเล็บ จากนั้นเราก็ไม่นำเครื่องหมายออกมา แต่ลบหนึ่งอัน ตัวอย่างเช่น ให้เราแปลงนิพจน์ในลักษณะนี้ − 5 − 12 x + 4 x y- ลองเขียนนิพจน์ใหม่เป็น (− 1) 5 + (− 1) 12 x − (− 1) 4 x yเพื่อให้เห็นตัวคูณโดยรวมได้ชัดเจนยิ่งขึ้น ลองเอามันออกจากวงเล็บแล้วได้ − (5 + 12 · x − 4 · x · y) ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นว่าในวงเล็บได้รับจำนวนเท่ากัน แต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

โดยสรุป เราสังเกตว่าในทางปฏิบัติมักมีการใช้การแปลงโดยการวางตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ เช่น เพื่อคำนวณค่าของนิพจน์เชิงตรรกยะ วิธีนี้ยังมีประโยชน์เมื่อคุณต้องการแสดงนิพจน์เป็นผลคูณ เช่น เพื่อแยกตัวประกอบพหุนามให้เป็นตัวประกอบแต่ละตัว

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ในบทความนี้เราจะเน้นไปที่ นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ- ก่อนอื่น ลองหาว่าการแปลงนิพจน์นี้ประกอบด้วยอะไร ต่อไปเราจะนำเสนอกฎสำหรับการวางปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บและพิจารณาตัวอย่างการใช้งานโดยละเอียด

การนำทางหน้า

ตัวอย่างเช่น คำศัพท์ในนิพจน์ 6 x + 4 y มีตัวประกอบร่วมคือ 2 ซึ่งไม่ได้เขียนไว้อย่างชัดเจน จะเห็นได้หลังจากแทนเลข 6 เป็นผลคูณของ 2·3 และ 4 เป็นผลคูณของ 2·2 เท่านั้น ดังนั้น, 6 x+4 y=2 3 x+2 2 y=2 (3 x+2 ปี)- อีกตัวอย่างหนึ่ง: ในนิพจน์ x 3 +x 2 +3 x พจน์มีปัจจัยร่วม x ซึ่งจะมองเห็นได้ชัดเจนหลังจากแทนที่ x 3 ด้วย x x 2 (ในกรณีนี้เราใช้) และ x 2 ด้วย x x หลังจากนำออกจากวงเล็บ เราจะได้ x·(x 2 +x+3)

แยกกันพูดเกี่ยวกับการเอาเครื่องหมายลบออกจากวงเล็บ ที่จริงแล้ว การเอาเครื่องหมายลบออกจากวงเล็บหมายถึงการเอาเครื่องหมายลบออกจากเครื่องหมายวงเล็บ ตัวอย่างเช่น ลองลบเครื่องหมายลบในนิพจน์ −5−12·x+4·x·y ออก นิพจน์เดิมสามารถเขียนใหม่เป็น (−1) 5+(−1) 12 x−(−1) 4 x yจากจุดที่มองเห็นปัจจัยร่วม −1 ได้ชัดเจน ซึ่งเรานำออกจากวงเล็บ ด้วยเหตุนี้ เราจึงได้นิพจน์ (−1)·(5+12·x−4·x·y) โดยที่สัมประสิทธิ์ −1 ถูกแทนที่ด้วยเครื่องหมายลบก่อนวงเล็บเหลี่ยม ผลลัพธ์ที่ได้คือ −( 5+12·x−4·x· ย) จากจุดนี้จะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าเมื่อนำเครื่องหมายลบออกจากวงเล็บ ผลรวมเดิมจะยังคงอยู่ในวงเล็บ ซึ่งเครื่องหมายของพจน์ทั้งหมดจะเปลี่ยนไปในทางตรงกันข้าม

โดยสรุปของบทความนี้ เราทราบว่าการถ่ายคร่อมปัจจัยร่วมนั้นมีการใช้กันอย่างแพร่หลาย ตัวอย่างเช่นสามารถใช้เพื่อคำนวณค่าของนิพจน์ตัวเลขได้อย่างมีประสิทธิภาพมากขึ้น นอกจากนี้ การใส่ตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บทำให้คุณสามารถแสดงนิพจน์ในรูปแบบของผลคูณได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วิธีหนึ่งในการแยกตัวประกอบพหุนามจะขึ้นอยู่กับการถ่ายคร่อมออก

บรรณานุกรม.

คณิตศาสตร์.ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [น. ใช่แล้ว Vilenkin และคนอื่น ๆ ] - ฉบับที่ 22, ว. - อ.: Mnemosyne, 2551. - 288 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-00897-2.

ในบรรดาสำนวนต่างๆ ที่พิจารณาในพีชคณิต ผลรวมของ monomials ครอบครองสถานที่สำคัญ นี่คือตัวอย่างของสำนวนดังกล่าว:
$5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8$
$xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2$

ผลรวมของเอกนามเรียกว่าพหุนาม เงื่อนไขในพหุนามเรียกว่าเงื่อนไขของพหุนาม Monomials ยังถูกจัดประเภทเป็นพหุนาม โดยพิจารณาว่า monomial เป็นพหุนามที่ประกอบด้วยสมาชิกหนึ่งตัว

ตัวอย่างเช่น พหุนาม
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 $
สามารถทำให้ง่ายขึ้น

ให้เราแสดงคำศัพท์ทั้งหมดในรูปแบบของ monomials ของรูปแบบมาตรฐาน:
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = $
$= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16$

ให้เรานำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกันในพหุนามผลลัพธ์:
$8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 $
ผลลัพธ์ที่ได้คือพหุนาม ซึ่งเงื่อนไขทั้งหมดเป็นแบบเอกพจน์ของรูปแบบมาตรฐาน และในจำนวนนั้นไม่มีคำที่คล้ายคลึงกัน พหุนามดังกล่าวเรียกว่า พหุนามของรูปแบบมาตรฐาน.

ด้านหลัง ระดับของพหุนามของรูปแบบมาตรฐานจะมีอำนาจสูงสุดของสมาชิก ดังนั้น ทวินาม $12a^2b - 7b$ มีดีกรีที่สาม และตรีโนเมียล $2b^2 -7b + 6$ มีดีกรีที่สอง

โดยทั่วไป เงื่อนไขของพหุนามรูปแบบมาตรฐานที่มีตัวแปรหนึ่งตัวจะถูกจัดเรียงตามเลขชี้กำลังจากมากไปน้อย ตัวอย่างเช่น:
$5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1$

ผลรวมของพหุนามหลายตัวสามารถแปลง (ทำให้ง่ายขึ้น) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้

บางครั้งเงื่อนไขของพหุนามจำเป็นต้องแบ่งออกเป็นกลุ่มๆ โดยใส่แต่ละกลุ่มไว้ในวงเล็บ เนื่องจากวงเล็บปิดเป็นการเปลี่ยนแปลงผกผันของวงเล็บเปิด จึงง่ายต่อการกำหนด กฎการเปิดวงเล็บ:

หากใส่เครื่องหมาย “+” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายเดียวกัน

หากใส่เครื่องหมาย “-” หน้าวงเล็บ คำศัพท์ที่อยู่ในวงเล็บจะเขียนด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม

การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของ monomial และพหุนาม

การใช้คุณสมบัติการกระจายของการคูณ คุณสามารถแปลง (ลดรูป) ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามให้เป็นพหุนามได้ ตัวอย่างเช่น:
$9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = $
$= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = $
$= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 $

ผลคูณของโมโนเมียลและพหุนามมีค่าเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของโมโนเมียลนี้และแต่ละเทอมของพหุนาม

ผลลัพธ์นี้มักจะถูกกำหนดเป็นกฎ

หากต้องการคูณโมโนเมียลด้วยพหุนาม คุณต้องคูณโมโนเมียลนั้นด้วยเงื่อนไขแต่ละข้อของพหุนาม

เราได้ใช้กฎนี้หลายครั้งเพื่อคูณด้วยผลรวม

ผลคูณของพหุนาม การแปลง (การทำให้เข้าใจง่าย) ของผลิตภัณฑ์ของพหุนามสองตัว

โดยทั่วไป ผลคูณของพหุนามสองตัวจะเท่ากันกับผลรวมของผลคูณของแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งและแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง

โดยปกติจะใช้กฎต่อไปนี้

ในการคูณพหุนามด้วยพหุนาม คุณต้องคูณแต่ละเทอมของพหุนามหนึ่งด้วยแต่ละเทอมของอีกเทอมหนึ่ง แล้วบวกผลลัพธ์ที่ได้

สูตรคูณแบบย่อ ผลรวมกำลังสอง ผลต่าง และผลต่างของกำลังสอง

คุณต้องจัดการกับนิพจน์บางนิพจน์ในการแปลงพีชคณิตบ่อยกว่านิพจน์อื่นๆ บางที สำนวนที่พบบ่อยที่สุดคือ $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ และ $a^2 - b^2 $ กล่าวคือ กำลังสองของผลรวม กำลังสองของ ความแตกต่างและความแตกต่างของกำลังสอง คุณสังเกตเห็นว่าชื่อของนิพจน์เหล่านี้ดูเหมือนจะไม่สมบูรณ์ เช่น $(a + b)^2 $ แน่นอนว่าไม่ใช่แค่กำลังสองของผลรวม แต่เป็นกำลังสองของผลรวมของ a และ b . อย่างไรก็ตาม ผลบวกกำลังสองของ a และ b ไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก ตามกฎแล้ว แทนที่จะเป็นตัวอักษร a และ b กลับมีสำนวนที่หลากหลาย ซึ่งบางครั้งก็ค่อนข้างซับซ้อน

นิพจน์ $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ สามารถแปลง (ลดความซับซ้อน) ให้เป็นพหุนามในรูปแบบมาตรฐานได้อย่างง่ายดาย ที่จริงแล้ว คุณพบงานนี้แล้วเมื่อคูณพหุนาม:
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = $
$= ก^2 + 2ab + ข^2 $

จะมีประโยชน์ในการจดจำข้อมูลประจำตัวที่เป็นผลลัพธ์และนำไปใช้โดยไม่ต้องคำนวณขั้นกลาง สูตรวาจาสั้น ๆ ช่วยเรื่องนี้

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $ - กำลังสองของผลรวมเท่ากับผลรวมของกำลังสองและผลคูณสองเท่า

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $ - กำลังสองของผลต่างเท่ากับผลรวมของกำลังสองที่ไม่มีผลคูณสองเท่า

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ - ผลต่างของกำลังสองเท่ากับผลคูณของผลต่างและผลรวม

อัตลักษณ์ทั้งสามนี้ทำให้สามารถแทนที่ชิ้นส่วนทางด้านซ้ายด้วยชิ้นส่วนทางขวาในการแปลงและในทางกลับกัน - ชิ้นส่วนทางขวาด้วยชิ้นส่วนทางซ้าย สิ่งที่ยากที่สุดคือการดูนิพจน์ที่เกี่ยวข้องและทำความเข้าใจว่าตัวแปร a และ b ถูกแทนที่ด้วยตัวแปรเหล่านั้นอย่างไร มาดูตัวอย่างการใช้สูตรคูณแบบย่อกัน

$5x+xy$ สามารถแสดงเป็น $x(5+y)$ นี่เป็นนิพจน์ที่เหมือนกันจริงๆ เราสามารถตรวจสอบได้หากเราเปิดวงเล็บ: $x(5+y)=x \cdot 5+x \cdot y=5x+xy$ อย่างที่คุณเห็นด้วยเหตุนี้เราจึงได้สำนวนดั้งเดิม ซึ่งหมายความว่า $5x+xy$ เท่ากับ $x(5+y)$ จริงๆ โดยวิธีการนี้ วิธีที่เชื่อถือได้เพื่อตรวจสอบความถูกต้องของปัจจัยทั่วไป - เปิดวงเล็บผลลัพธ์แล้วเปรียบเทียบผลลัพธ์กับนิพจน์ดั้งเดิม

กฎหลักสำหรับการถ่ายคร่อม:

ตัวอย่างเช่น ในนิพจน์ $3ab+5bc-abc$ สามารถนำเฉพาะ $b$ ออกจากวงเล็บได้เท่านั้น เนื่องจากเป็นนิพจน์เดียวที่มีอยู่ในทั้งสามพจน์ กระบวนการนำปัจจัยร่วมออกจากวงเล็บแสดงไว้ในแผนภาพด้านล่าง:

กฎการถ่ายคร่อม

ในทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะต้องนำตัวประกอบร่วมทั้งหมดออกมาในคราวเดียว

ตัวอย่าง:$3xy-3xz=3x(y-z)$
โปรดทราบว่าที่นี่เราสามารถขยายได้ดังนี้: $3(xy-xz)$ หรือเช่นนี้: $x(3y-3z)$ อย่างไรก็ตามสิ่งเหล่านี้จะเป็นการสลายตัวที่ไม่สมบูรณ์ ต้องถอดทั้ง C และ X ออก

บางครั้งสมาชิกทั่วไปไม่สามารถมองเห็นได้ในทันที

ตัวอย่าง:$10x-15y=2·5·x-3·5·y=5(2x-3y)$
ในกรณีนี้ คำทั่วไป (ห้า) ถูกซ่อนอยู่ อย่างไรก็ตาม เมื่อขยาย $10$ เป็น $2$ คูณด้วย $5$ และ $15$ เป็น $3$ คูณด้วย $5$ - เรา "ดึงทั้งห้าเข้าไปใน แสงสว่างของพระเจ้า” หลังจากนั้นพวกเขาก็ดึงมันออกจากวงเล็บได้อย่างง่ายดาย

ถ้า monomial ถูกลบออกทั้งหมด จะเหลืออันหนึ่งจากมัน

ตัวอย่าง: $5xy+axy-x=x(5y+ay-1)$
เราใส่ $x$ ออกจากวงเล็บ และตัวที่สามประกอบด้วย x เท่านั้น เหตุใดจึงเหลืออยู่จากมัน? เพราะถ้านิพจน์ใดคูณหนึ่งจะไม่เปลี่ยน นั่นคือ $x$ เดียวกันนี้สามารถแสดงเป็น $1\cdot x$ จากนั้นเราก็มีห่วงโซ่การเปลี่ยนแปลงดังต่อไปนี้:

$5xy+axy-$$x$ $=5xy+axy-$$1 \cdot x$ $=$$x$ $(5y+ay-$\ (1\) $)$

ยิ่งไปกว่านั้น นี่เป็นวิธีเดียวที่ถูกต้องในการแยกมันออกมา เพราะถ้าเราไม่ทิ้งมันไว้ เมื่อเปิดวงเล็บแล้ว เราจะไม่กลับไปสู่นิพจน์เดิม อันที่จริง หากเราทำการแยกเช่นนี้ $5xy+axy-x=x(5y+ay)$ จากนั้นเมื่อขยาย เราจะได้ $x(5y+ay)=5xy+axy$ สมาชิกคนที่สามหายไป ซึ่งหมายความว่าข้อความดังกล่าวไม่ถูกต้อง

คุณสามารถวางเครื่องหมายลบไว้นอกวงเล็บได้ และเครื่องหมายของเงื่อนไขในวงเล็บจะกลับกัน

ตัวอย่าง:$x-y=-(-x+y)=-(y-x)$
โดยพื้นฐานแล้ว เรากำลังใส่ "ลบหนึ่ง" ซึ่งสามารถ "เลือก" ไว้ข้างหน้า monomial ใดๆ ได้ แม้ว่าจะไม่มีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้าก็ตาม เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าสามารถเขียนได้เป็น $(-1) \cdot (-1)$ นี่คือตัวอย่างเดียวกันที่อธิบายโดยละเอียด:

$x-y=$
$=1·x+(-1)·y=$
$=(-1)·(-1)·x+(-1)·y=$
$=(-1)·((-1)·x+y)=$
$=-(-x+y)=$
$-(y-x)$

วงเล็บอาจเป็นปัจจัยร่วมได้เช่นกัน

ตัวอย่าง:$3m(n-5)+2(n-5)=(n-5)(3m+2)$
เรามักเผชิญกับสถานการณ์นี้ (การถอดวงเล็บออกจากวงเล็บ) เมื่อแยกตัวประกอบโดยใช้วิธีการจัดกลุ่มหรือ

คำจำกัดความ 1

ก่อนอื่นมาจำกันก่อน กฎสำหรับการคูณ monomial ด้วย monomial:

หากต้องการคูณ monomial ด้วย monomial คุณต้องคูณค่าสัมประสิทธิ์ของ monomials ก่อน จากนั้นใช้กฎการคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน คูณตัวแปรที่รวมอยู่ใน monomials

ตัวอย่างที่ 1

ค้นหาผลคูณของเอกพจน์ $(2x)^3y^2z$ และ $(\frac(3)(4)x)^2y^4$

สารละลาย:

ขั้นแรก เรามาคำนวณผลคูณของสัมประสิทธิ์กันก่อน

$2\cdot\frac(3)(4) =\frac(2\cdot 3)(4)$ ในงานนี้ เราใช้กฎสำหรับการคูณตัวเลขด้วยเศษส่วน - ในการคูณจำนวนเต็มด้วยเศษส่วน คุณต้องมี เพื่อคูณตัวเลขด้วยตัวเศษของเศษส่วน และตัวส่วนใส่ไว้โดยไม่มีการเปลี่ยนแปลง

ตอนนี้ ลองใช้คุณสมบัติพื้นฐานของเศษส่วน - ตัวเศษและส่วนของเศษส่วนสามารถหารด้วยจำนวนเดียวกันได้ ซึ่งต่างจาก $0$ ลองหารเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ด้วย $2$ นั่นคือ ลดเศษส่วนนี้ลง $2$ $2\cdot\frac(3)(4)$ =$\frac(2\cdot 3)(4)=\\ frac(3 )(2)$

ผลลัพธ์ที่ได้กลับกลายเป็นเศษส่วนเกิน นั่นคือเศษส่วนที่ตัวเศษมากกว่าตัวส่วน

ลองแปลงเศษส่วนนี้โดยแยกส่วนทั้งหมดออกจากกัน โปรดจำไว้ว่าในการแยกส่วนจำนวนเต็มนั้น จำเป็นต้องเขียนเศษที่เหลือของการหารลงในตัวเศษของเศษส่วน โดยตัวหารเป็นตัวส่วน

เราพบค่าสัมประสิทธิ์ของผลิตภัณฑ์ในอนาคต

ตอนนี้เราจะคูณตัวแปร $x^3\cdot x^2=x^5$ ตามลำดับ

$y^2\cdot y^4 =y^6$. เราใช้กฎในการคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน: $a^m\cdot a^n=a^(m+n)$

จากนั้นผลลัพธ์ของการคูณ monomials จะเป็น:

$(2x)^3y^2z \cdot (\frac(3)(4)x)^2y^4=1\frac(1)(2)x^5y^6$

จากนั้น ตามกฎนี้ คุณสามารถทำงานต่อไปนี้ได้:

ตัวอย่างที่ 2

แทนพหุนามที่กำหนดเป็นผลคูณของพหุนามและเอกพจน์ $(4x)^3y+8x^2$

ให้เราแสดง monomials แต่ละรายการที่รวมอยู่ในพหุนามเป็นผลคูณของ monomials สองตัวเพื่อแยก monomial ทั่วไปออก ซึ่งจะเป็นปัจจัยใน monomials ตัวแรกและตัวที่สอง

ขั้นแรก เริ่มจากโมโนเมียลตัวแรก $(4x)^3y$ ลองแยกตัวประกอบสัมประสิทธิ์ออกเป็นปัจจัยง่ายๆ: $4=2\cdot 2$ เราจะทำเช่นเดียวกันกับสัมประสิทธิ์ของเอกพจน์ที่สอง $8=2\cdot 2 \cdot 2$ โปรดทราบว่ามีปัจจัยสองตัว $2\cdot 2$ รวมอยู่ในทั้งสัมประสิทธิ์ตัวแรกและตัวที่สอง ซึ่งหมายความว่า $2\cdot 2=4$ - จำนวนนี้จะรวมอยู่ใน monomial ทั่วไปเป็นสัมประสิทธิ์

ตอนนี้ให้เราสังเกตว่าใน monomial แรกคือ $x^3$ และในวินาทีมีตัวแปรเดียวกันกับกำลังของ $2:x^2$ ซึ่งหมายความว่าสะดวกที่จะแสดงตัวแปร $x^3$ เช่นนี้:

ตัวแปร $y$ จะรวมอยู่ในเทอมเดียวของพหุนามเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าไม่สามารถรวมไว้ในโมโนเมียลทั่วไปได้

ลองจินตนาการถึง monomial ตัวแรกและตัวที่สองที่อยู่ในพหุนามเป็นผลิตภัณฑ์:

$(4x)^3y=4x^2\cดอท xy$

$8x^2=4x^2\cdot 2$

โปรดทราบว่า monomial ทั่วไปซึ่งจะเป็นปัจจัยใน monomial ตัวแรกและตัวที่สองคือ $4x^2$

$(4x)^3y+8x^2=4x^2\cดอท xy + 4x^2\cดอท 2$

ตอนนี้เราใช้กฎการกระจายของการคูณ จากนั้นนิพจน์ผลลัพธ์สามารถแสดงเป็นผลคูณของสองปัจจัยได้ ตัวคูณตัวหนึ่งจะเป็นตัวคูณทั้งหมด: $4x^2$ และอีกตัวคือผลรวมของตัวคูณที่เหลือ: $xy + 2$ วิธี:

$(4x)^3y+8х^2 = 4x^2\cdot xy + 4x^2\cdot 2 = 4x^2(xy+2)$

วิธีการนี้เรียกว่า การแยกตัวประกอบโดยการนำตัวประกอบร่วมออกมา

ปัจจัยทั่วไปในกรณีนี้คือ $4x^2$ แบบเอกเทศ

อัลกอริทึม

หมายเหตุ 1

ค้นหาตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของค่าสัมประสิทธิ์ของ monomials ทั้งหมดที่รวมอยู่ในพหุนาม - มันจะเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของตัวประกอบร่วม - monomial ซึ่งเราจะใส่ออกจากวงเล็บ

monomial ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ที่พบในวรรค 2 และตัวแปรที่พบในวรรค 3 จะเป็นปัจจัยร่วม ซึ่งสามารถถอดออกจากวงเล็บได้เป็นปัจจัยร่วม

ตัวอย่างที่ 3

นำตัวประกอบร่วม $3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2$ ออก

สารละลาย:

มาหา gcd ของสัมประสิทธิ์กัน โดยเราจะแยกย่อยสัมประสิทธิ์เป็นปัจจัยง่ายๆ

$45=3\cdot 3\cdot 5$

และเราพบผลิตภัณฑ์ของสิ่งที่รวมอยู่ในส่วนขยายของแต่ละรายการ:

ระบุตัวแปรที่ประกอบเป็น monomial และเลือกตัวแปรที่มีเลขชี้กำลังน้อยที่สุด

$a^3=a^2\cdot a$

ตัวแปร $b$ จะรวมอยู่ใน monomial ที่สองและสามเท่านั้น ซึ่งหมายความว่าจะไม่รวมอยู่ในปัจจัยร่วม

ลองเขียน monomial ที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ที่พบในขั้นตอนที่ 2 ตัวแปรที่พบในขั้นตอนที่ 3 เราจะได้: $3a$ - นี่จะเป็นปัจจัยร่วม แล้ว:

$3a^3-(15a)^2b+4(5ab)^2=3a(a^2-5ab+15b^2)$