Как найти значение линейного оператора на векторе. Собственные вектора и собственные значения линейного оператора

- Линейная алгебра

Собственные векторы и значения линейного оператора (преобразования)

Пусть - линейное преобразование n-мерного линейного пространства V . Ненулевой вектор \boldsymbol{s} линейного пространства V , удовлетворяющий условию

\mathcal{A}(\boldsymbol{s})=\lambda\cdot \boldsymbol{s},

называется собственным вектором линейного преобразования \mathcal{A} . Число \lambda в равенстве (9.5) называется собственным значением преобразования \mathcal{A} . Говорят, что собственный вектор соответствует (принадлежит) собственному значению \lambda . Если пространство V вещественное (комплексное), то собственное значение \lambda - действительное (комплексное) число.

Множество всех собственных значений линейного преобразования называется его спектром .

Поясним геометрический смысл собственных векторов. Ненулевой вектор s является собственным для преобразования \mathcal{A} , если его образ \mathcal{A} (\boldsymbol{s}) коллинеарен прообразу \boldsymbol{s} . Другими словами, если \boldsymbol{s} - собственный вектор, то преобразование \mathcal{A} имеет одномерное инвариантное подпространство . Справедливо и обратное утверждение.

В самом деле, пусть собственный вектор \boldsymbol{s} соответствует некоторому собственному значению \lambda . Любой вектор \boldsymbol{v} из \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) имеет вид \boldsymbol{v}=\alpha \boldsymbol{s} , где \alpha - любое число из заданного поля. Найдем образ этого вектора

\mathcal{A}(\boldsymbol{v})= \mathcal{A}(\alpha \boldsymbol{s})= \alpha\cdot \mathcal{A}(\boldsymbol{s})= \alpha\cdot \lambda\cdot \boldsymbol{s}\in \operatorname{Lin} (\boldsymbol{s}).

Следовательно, \mathcal{A}(\boldsymbol{v})\in \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) для любого вектора \boldsymbol{v}\in \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) , т.е. подпространство \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) инвариантно относительно преобразования \mathcal{A} . Размерность подпространства \operatorname{Lin} (\boldsymbol{s}) равна единице, так как \boldsymbol{s}\ne \boldsymbol{o} по определению.

Обратное утверждение доказывается, проводя рассуждения в обратном порядке.

Связь собственных векторов линейного преобразования (оператора) и его матрицы

Ранее рассматривались собственные векторы и собственные значения матрицы. Напомним, что собственным вектором квадратной матрицы A n-го порядка называется ненулевой числовой столбец s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_{n}\end{pmatrix}^T , удовлетворяющий условию (7.13):

A\cdot s=\lambda\cdot s.

Число \lambda в (9.6) называется собственным значением матрицы A . При этом считалось, что собственное значение \lambda и числа s_i~(i=1,\ldots,n) принадлежат полю комплексных чисел.

Эти понятия связаны с собственными векторами и собственными значениями линейного преобразования.

Теорема 9.3 о собственных векторах линейного преобразования и его матрицы. Пусть \mathcal{A}\colon V\to V - линейное преобразование n-мерного линейного пространства V с базисом . Тогда собственное значение \lambda и координатный столбец {s} собственного вектора \boldsymbol{s} преобразования \mathcal{A} являются собственным значением и собственным вектором матрицы A этого преобразования, определенной относительно базиса \boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_n , т.е.

\mathcal{A}(\boldsymbol{s})=\lambda\cdot \boldsymbol{s}\quad \Rightarrow\quad A\cdot s=\lambda\cdot s, где \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+s_n \boldsymbol{e}_n,~ s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots& s_n\end{pmatrix}^T.

Обратное утверждение справедливо при дополнительных условиях: если столбец s=\begin{pmatrix} s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}^T и число \lambda являются собственным вектором и собственным значением матрицы A , причем числа s_1,\ldots,s_n,\lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство V , то вектор \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+ \ldots+s_n \boldsymbol{e}_n и число \lambda являются собственным вектором и собственным значением линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V с матрицей A в базисе \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n .

В самом деле, условие (9.5) в координатной форме имеет вид (9.6), что совпадает с определением (7.13) собственного вектора матрицы. Наоборот, из равенства (9.6) следует равенство (9.5) при условии, что векторы и \lambda\cdot \boldsymbol{s} определены, т.е. числа s_1,\ldots,s_n, \lambda принадлежат тому же числовому полю, над которым определено линейное пространство.

Напомним, что нахождение собственных значений матрицы сводится к решению ее характеристического уравнения \Delta_A(\lambda)=0 , где \Delta_A(\lambda)=\det(A-\lambda E) - характеристический многочлен матрицы A . Для линейного преобразования введем аналогичные понятия.

Характеристическим многочленом линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V n-мерного линейного пространства называется характеристический многочлен матрицы A этого преобразования, найденной относительно любого базиса пространства V .

Уравнение называется характеристическим уравнением линейного преобразования .

Преобразование \mathcal{A}-\lambda\mathcal{E} называется характеристическим для линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V .

Замечания 9.4

1. Характеристический многочлен линейного преобразования не зависит от базиса, в котором найдена матрица преобразования.

В самом деле, матрицы \mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{e})} и \mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{f})} линейного преобразования \mathcal{A} в базисах (\boldsymbol{e})= (\boldsymbol{e}_1,\ldots, \boldsymbol{e}_n) и (\boldsymbol{f})=(\boldsymbol{f}_1,\ldots,\boldsymbol{f}_n) являются, согласно (9.4), подобными: \nathop{A}\limits_{(\boldsymbol{f})}=S^{-1}\mathop{A}\limits_{(\boldsymbol{e})}S , где S - матрица перехода от базиса (\boldsymbol{e}) к базису (\boldsymbol{f}) . Как показано ранее, характеристические многочлены подобных матриц совпадают (см. свойство 3). Поэтому для характеристического многочлена преобразования \mathcal{A} можно использовать обозначение \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda) , не указывая матрицу этого преобразования.

2. Из теоремы 9.3 следует, что любой комплексный (действительный, рациональный) корень характеристического уравнения является собственным значением линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V линейного пространства V , определенного над полем комплексных (действительных, рациональных) чисел.

3. Из теоремы 9.3 следует, что любое линейное преобразование комплексного линейного пространства имеет одномерное инвариантное подпространство, так как это преобразование имеет собственное значение (см. пункт 2), а следовательно, и собственные векторы. Таким подпространством является, например, линейная оболочка любого собственного вектора. У преобразования вещественного линейного пространства одномерных инвариантных подпространств может и не быть, если все корни характеристического уравнения комплексные (но не действительные).

Теорема 9.4 об инвариантных подпространствах линейного оператора вещественного пространства. У всякого линейного преобразования вещественного линейного пространства существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Действительно, составим матрицу A линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V n-мерного вещественного линейного пространства V в произвольном базисе \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n . Элементы этой матрицы - действительные числа. Следовательно, характеристический многочлен \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=\det(A-\lambda E) - это многочлен степени n с действительными коэффициентами. Согласно следствиям 3, 4 основной теоремы алгебры, такой многочлен может иметь действительные корни и пары комплексных сопряженных корней.

Если - действительный корень характеристического уравнения, то и соответствующий собственный вектор s=\begin{pmatrix}s_1&\cdots&s_n\end{pmatrix}^T матрицы A также действительный. Поэтому он определяет собственный вектор \boldsymbol{s}=s_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+s_n \boldsymbol{e}_n линейного преобразования (см. теорему 9.3). В этом случае существует одномерное инвариантное относительно \mathcal{A} подпространство \operatorname{Lin}(\boldsymbol{s}) (см. геометрический смысл собственных векторов).

Если \lambda=\alpha\pm\beta i - пара комплексных сопряженных корней (\beta\ne0) , то собственный вектор s\ne o матрицы A также с комплексными элементами: s=\begin{pmatrix}x_1+y_1i&\cdots& x_n+y_n i \end{pmatrix}^T . Его можно представить в виде s=x+yi , где x,\,y - действительные столбцы. Равенство (9.6) при этом будет иметь вид

A\cdot(x+yi)= (\alpha+\beta i)\cdot(x+yi).

\begin{cases}Ax=\alpha x-\beta y,\\ Ay=\beta x+\alpha y.\end{cases}

Покажем, что столбцы {x} и {y} линейно независимы. Рассмотрим два случая. Если x=o , то из первого уравнения (9.7) следует, что y=o , так как \beta\ne0 . Тогда s=o , что противоречит условию s\ne o . Предположим, что x\ne o и столбцы x и y пропорциональны, т.е. существует такое действительное число \gamma , что y=\gamma x . Тогда из системы (9.7) получаем \begin{cases}Ax=(\alpha-\beta\gamma)x,\\ \gamma Ax=(\beta-\alpha\gamma)x. \end{cases} Прибавляя ко второму уравнению первое, умноженное на (-\gamma) , приходим к равенству [(\beta+\alpha\gamma)-\gamma(\alpha-\beta\gamma)]x=o . Так как x\ne o , то выражение в квадратных скобках равно нулю, т.е. (\beta+\alpha\gamma)- \gamma(\alpha- \beta\gamma)= \beta(1+\gamma^2)=0 . Поскольку \beta\ne0 , то \gamma^2=-1 . Этого не может быть, так как \gamma - действительное число. Получили противоречие. Таким образом, столбцы x и y линейно независимы.

Рассмотрим подпространство , где \boldsymbol{x}= x_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+x_n \boldsymbol{e}_n,~ \boldsymbol{y}= y_1 \boldsymbol{e}_1+\ldots+ y_n \boldsymbol{y}_n . Это подпространство двумерное, так как векторы \boldsymbol{x},\boldsymbol{y} линейно независимы (как показано выше, их координатные столбцы x,y линейно независимы). Из (9.7) следует, что \begin{cases}\mathcal{A}(\boldsymbol{x})=\alpha \boldsymbol{x}-\beta \boldsymbol{y},\\ \mathcal{A}(\boldsymbol{y})=\beta \boldsymbol{x}+\alpha \boldsymbol{y},\end{cases} т.е. образ любого вектора, принадлежащего \operatorname{Lin}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) , также принадлежит \operatorname{Lin}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) . Следовательно, \operatorname{Lin}(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}) - двумерное подпространство, инвариантное относительно преобразования \mathcal{A} , что и требовалось доказать.

Нахождение собственных векторов и значений линейного оператора (преобразования)

Для нахождения собственных векторов и собственных значений линейного преобразования \mathcal{A}\colon V\to V вещественного линейного пространства V следует выполнить следующие действия.

1. Выбрать произвольный базис \boldsymbol{e}_1,\ldots,\boldsymbol{e}_n линейного пространства V и найти в этом базисе матрицу A преобразования \mathcal{A} .

2. Составить характеристический многочлен преобразования \mathcal{A}\colon\, \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=\det(A-\lambda E) .

3. Найти все различные действительные корни \lambda_1,\ldots,\lambda_k характеристического уравнения \Delta_{\mathcal{A}}(\lambda)=0 . Комплексные (но не действительные) корни характеристического уравнения следует отбросить (см. пункт 2. замечаний 9.4).

4. Для корня \lambda=\lambda_1 найти фундаментальную систему \varphi_1, \varphi_2,\ldots,\varphi_{n-r} (A-\lambda_1E)x=o , где r=\operatorname{rg}(A-\lambda_1E) . Для этого можно использовать либо алгоритм решения однородной системы, либо один из способов нахождения фундаментальной матрицы.

5. Записать линейно независимые собственные векторы преобразования \mathcal{A} , отвечающие собственному значению \lambda_1:

\begin{matrix} \boldsymbol{s}_1=\varphi_{1\,1}\boldsymbol{e}_1+ \ldots+ \varphi_{n\,1}\boldsymbol{e}_n,\\ \boldsymbol{s}_2=\varphi_{1\,2}\boldsymbol{e}_1+ \ldots+ \varphi_{n\,2}\boldsymbol{e}_n,\\ \vdots\\ \boldsymbol{s}_{n-r}=\varphi_{1\,n-r} \boldsymbol{e}_1+ \ldots+\varphi_{n\,n-r}\boldsymbol{e}_n. \end{matrix}

Для нахождения совокупности всех собственных векторов, отвечающих собственному значению \lambda_1 , образовать ненулевые линейные комбинации

\boldsymbol{s}= C_1 \boldsymbol{s}_1+C_2 \boldsymbol{s}_2+\ldots+ C_{n-r}\boldsymbol{s}_{n-r},

где C_1,C_2,\ldots,C_{n-r} - произвольные постоянные, не равные нулю одновременно.

Повторить пункты 4, 5 для остальных собственных значений \lambda_2,\ldots,\lambda_k линейного преобразования \mathcal{A} .

Для нахождения собственных векторов линейного преобразования комплексного линейного пространства нужно в пункте 3 определить все корни характеристического уравнения и, не отбрасывая комплексные корни, выполнить для них пункты 4,5.

Примеры собственных векторов линейных операторов (преобразований)

1. Для нулевого преобразования \mathcal{O}\colon V\to V любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим нулевому собственному значению \lambda=0 , так как \mathcal{O}(\boldsymbol{s})=0\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

2. Для тождественного преобразования \mathcal{E}\colon V\to V любой ненулевой вектор \boldsymbol{s}\in V является собственным, соответствующим единичному собственному значению \lambda=1 , так как \mathcal{E} (\boldsymbol{s})=1\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

3. Для центральной симметрии \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}}\colon V\to V любой ненулевой вектор \boldsymbol{s}\in V \mathcal{Z}_{\boldsymbol{o}} (\boldsymbol{s})=(-1)\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

4. Для гомотетии \mathcal{H}_{\lambda}\colon V\to V любой ненулевой вектор \boldsymbol{s}\in V является собственным, соответствующим собственному значению \lambda (коэффициенту гомотетии), так как \mathcal{H}_{\lambda} (\boldsymbol{\boldsymbol{s}})= \lambda\cdot \boldsymbol{s}~ \forall \boldsymbol{s}\in V .

5. Для поворота \mathcal{R}_{\varphi}\colon V_2\to V_2 плоскости (при ) собственных векторов нет, так как при повороте на угол, не кратный \pi , образ каждого ненулевого вектора неколлинеарен прообразу. Здесь рассматривается поворот вещественной плоскости, т.е. двумерного векторного пространства над полем действительных чисел.

6. Для оператора дифференцирования \mathcal{D}\colon P_n(\mathbb{R})\to P_n(\mathbb{R}) любой ненулевой многочлен нулевой степени (не равный тождественно нулю) является собственным вектором, соответствующим нулевому собственному значению \lambda=0 , так как \mathcal{D}(s(x))=0\cdot s(x) \forall s(x)\equiv \text{const} . Любой многочлен ненулевой степени не является собственным вектором, так как многочлен не пропорционален своей производной: \mathcal{D}(s(x))=s"(x)\ne \lambda\cdot s(x) , поскольку они имеют разные степени.

7. Рассмотрим оператор \Pi_{L_1}\colon V\to V проектирования на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1\oplus L_2, \Pi_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+ \boldsymbol{v}_2)=\boldsymbol{v}_1 для \Pi_{L_1}(\boldsymbol{v}_1)=1\cdot \boldsymbol{v}_1 , а любой ненулевой вектор является собственным, соответствующим собственному значению \lambda=0 , так как \Pi_{L_2}(\boldsymbol{v}_2)=0\cdot \boldsymbol{v}_2 \Pi_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)= \boldsymbol{v}_1= \lambda(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2) возможно либо при , либо при .

8. Рассмотрим оператор \mathcal{Z}_{L_1}\colon V\to V отражения на подпространство L_1 параллельно подпространству L_2 . Здесь V=L_1\oplus L_2 \mathcal{Z}_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)= \boldsymbol{v}_1- \boldsymbol{v}_2 , для \boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2, \boldsymbol{v}_1\in L_1,~ \boldsymbol{v}_2\in L_2 . Для этого оператора любой ненулевой вектор \boldsymbol{v}_1\in L_1 является собственным, соответствующим собственному значению \lambda=1 , так как \mathcal{Z}_{L_1} (\boldsymbol{v}_1)= 1\cdot \boldsymbol{v}_1 , а любой ненулевой вектор \boldsymbol{v}_2\in L_2 является собственным, соответствующим собственному значению \lambda=-1 , так как \mathcal{Z}_{L_2} (\boldsymbol{v}_2)= (-1)\cdot \boldsymbol{v}_2 . Другие векторы не являются собственными, так как равенство \mathcal{Z}_{L_1}(\boldsymbol{v}_1+\boldsymbol{v}_2)= \boldsymbol{v}_1- \boldsymbol{v}_2= \lambda(\boldsymbol{}_1+ \boldsymbol{v}_2) возможно либо при \boldsymbol{v}_1=\boldsymbol{o} , либо при \boldsymbol{v}_2= \boldsymbol{o} .

9. В пространстве V_3 радиус-векторов пространства, отложенных от фиксированной точки O , рассмотрим поворот на угол \varphi\ne\pi k,~ k\in\mathbb{Z} , вокруг оси \ell , заданной радиус-вектором \vec{\ell} . Любой ненулевой вектор, коллинеарный вектору \vec{\ell} , является собственным, отвечающим собственному значению \lambda=1 . Других собственных векторов у этого преобразования нет.

Пример 9.1. Найти собственные значения и собственные векторы оператора дифференцирования \mathcal{D}\colon T_1\to T_1 , преобразующего пространство тригонометрических многочленов (частоты \omega=1 ):

а) с действительными коэффициентами T_1=T_1(\mathbb{R})= \operatorname{Lin} (\sin{t},\cos{t}) ;

б) с комплексными коэффициентами T_1=T_1(\mathbb{C})= \operatorname{Lin} (\sin{t},\cos{t}) .

Решение. 1. Выберем стандартный базис e_1(t)=\sin{t},~ e_2(t)=\cos{t} и составим в этом базисе матрицу D оператора \mathcal{D}:

D=\begin{pmatrix}0&-1\\ 1&0 \end{pmatrix}\!.

2. Составим характеристический многочлен преобразования \mathcal{D}\colon\, \Delta_{\mathcal{D}}(\lambda)= \begin{vmatrix}-\lambda&-1\\ 1&-\lambda\end{vmatrix}= \lambda^2+1. .

3. Характеристическое уравнение \lambda^2+1=0 имеет комплексные сопряженные корни \lambda_1=i,~ \lambda_2=-i . Действительных корней нет, поэтому преобразование \mathcal{D} вещественного пространства T_1(\mathbb{R}) (случай (а)) не имеет собственных значений, а следовательно, и собственных векторов. Преобразование \mathcal{D} комплексного пространства T_1(\mathbb{C}) (случай (б)) имеет комплексные собственные значения \lambda_1,\,\lambda_2 .

4(1). Для корня \lambda_1=i находим фундаментальную систему \varphi_1 решений однородной системы уравнений (D-\lambda_1 E)x=o:

\begin{pmatrix}-i&-1\\ 1&-i\end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.

Приведем матрицу системы к ступенчатому виду, умножая первое уравнение на {i} и вычитая его из второго уравнения:

\begin{pmatrix}-i&-1\\ 1&-i \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-i\\ 1&-i \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix}1&-i\\ 0&0\end{pmatrix}\!.

Выражаем базисную переменную x_1 через свободную: x_1=ix_2 . Полагая x_2=1 , получаем x_1=i , т.е. \varphi=\begin{pmatrix}i&1 \end{pmatrix}^T .

5(1). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению \lambda_1= i\colon\, s_1(t)=i\cdot\sin{t}+1\cdot\cos{t} . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению \lambda_1=i , образуют ненулевые функции, пропорциональные s_1(t) .

4(2). Для корня \lambda_2=-i аналогично находим фундаментальную систему (состоящую из одного вектора) \varphi_2=\begin{pmatrix}-i&1 \end{pmatrix}^T решений однородной системы уравнений (D-\lambda_2E)x=o:

\begin{pmatrix}i&-1\\ 1&i \end{pmatrix}\!\cdot\! \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0 \end{pmatrix}\!.

5(2). Записываем собственный вектор, отвечающий собственному значению \lambda_2=-i\colon\, s_2(t)=-i\cdot\sin{t}+1\cdot\cos{t} . Совокупность всех собственных векторов, отвечающих собственному значению \lambda_2=-i , образуют ненулевые функции, пропорциональные s_2(t) .

См. также

Определение 5.3. Ненулевой вектор х в линейном пространстве L называют собственным вектором линейного оператора А: L → L, если для некоторого действительного числа А выполняется соотношение Ах = λx. При этом число λ называют собственным значением (собственным числом) линейного оператора А.

Пример 5.3. В линейном пространстве К n [х] многочленов степени не выше n содержатся многочлены нулевой степени, т.е. постоянные функции. Так как dc/dx = 0 = 0 с, многочлены нулевой степени р(х) = с ≠ 0 являются собственными векторами линейного оператора дифференцирования, а число λ = 0 - собственным значением этого оператора. #

Множество всех собственных значений линейного оператора называют спектром линейного оператора . Каждый собственный вектор связан со своим собственным значением. Действительно, если вектор х одновременно удовлетворяет двум равенствам Ах = λx и Ах = μх, то λx = μх, откуда (λ - μ)х = 0. Если λ - μ ≠ 0, умножим равенство на число (λ - μ) -1 и в результате получим, что x = 0. Но это противоречат определению собственного вектора, так как собственный вектор всегда ненулевой.

Каждому собственному значению отвечают свои собствен-ные векторы, причем таких бесконечно много. Действительно, если x - собственный вектор линейного оператора А с собственным значением λ, т.е. Ах = λx, то для любого ненулевого действительного числа α имеем αx ≠ 0 и А(αх) = α(Ах) = αλx = λ(αx). Значит, и вектор αx является для линейного оператора собственным.

Замечание 5.1. Часто говорят о собственных значениях (числах), спектре и собственных векторах квадратной матрицы . При этом имеют в виду следующее. Матрица А порядка n является матрицей некоторого линейного оператора в фиксированном базисе , действующего в n-мерном линейном пространстве . Например, если остановиться на стандартном базисе в линейном арифметическом пространстве R n , то матрица А определяет линейный оператор А, отображающий вектор х ∈ R n со столбцом координат х в вектор со столбцом координат Ах. Матрицей А как раз и является матрица А. Естественно отождествить оператор с его матрицей аналогично тому, как арифметический вектор отождествляется со столбцом своих координат. Такое отождествление, которое часто используется и при этом не всегда оговаривается, позволяет перенести на матрицы "операторные" термины.

Спектр линейного оператора тесно связан с его характеристическим уравнением .

Теорема 5.3. Для того чтобы действительное число λ являлось собственным значением линейного оператора, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем характеристического уравнения этого оператора.

◄ Необходимость. Пусть число λ является собственным значением линейного оператора А: L → L. Это значит, что существует вектор x ≠ 0, для которого

Ах = λx. (5.2)

Отметим, что в L действует тождественный оператор I: Ix = x для любого вектора x. Используя этот оператор, преобразуем равенство (5.2): Ах = λIx, или

(А - λI)х = 0. (5.3)

Запишем векторное равенство (5.3) в каком-либо базисе b. Матрицей линейного оператора А - λI будет матрица А - λE, где А - матрица линейного оператора А в базисе b, а Е - еди-ничная матрица, и пусть х - столбец координат собственного вектора x. Тогда х ≠ 0, а векторное равенство (5.3) равносильно матричному

(А - λE)x = 0, (5.4)

которое представляет собой матричную форму записи одно-родной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) с квадратной матрицей А - λЕ порядка n. Эта система имеет ненулевое решение, являющееся столбцом координат х собственного вектора x. Поэтому матрица А - λЕ системы (5.4) имеет нулевой определитель , т.е. det(A - λЕ) = 0. А это означает, что λ является корнем характеристического уравнения линейного оператора А.

Достаточность. Легко убедиться, что приведенные рассуждения можно провести в обратном порядке. Если λ является корнем характеристического уравнения, то в заданном базисе b выполняется равенство det (A - λЕ) = 0. Следовательно, матрица однородной СЛАУ (5.4), записанной в матричной форме, вырождена, и система имеет ненулевое решение х. Это ненулевое решение представляет собой набор координат в базисе b некоторого ненулевого вектора x, для которого выполняется векторное равенство (5.3) или ему эквивалентное равенство (5.2) . Мы приходим к выводу, что число λ является собствен-ным значением линейного оператора А.

Каждому собственному значению λ матрицы (линейного оператора) сопоставляют его кратность , полагая ее равной кратности корня λ характеристического уравнения этой матрицы (этого линейного оператора).

Множество всех собственных векторов, отвечающих данно-му собственному значению линейного оператора, не является линейным подпространством , так как это множество не содержит нулевого вектора , который, по определению, не может быть собственным. Но это формальное и легко устранимое препятствие является единственным. Обозначим через £(А, λ) множество всех собственных векторов линейного оператора А в линейном пространстве L, отвечающих собственному значению λ, с добавленным к этому множеству нулевым вектором.

Теорема 5.4. Множество £(А,λ) является линейным подпространством в L.

◄ Выберем произвольные два вектора x,у ∈ £(А, λ) и докажем, что для любых действительных α и β вектор αх + βу также принадлежит £(А, λ). Для этого вычислим образ этого вектора под действием линейного оператора А:

А(αх + βу) = А((αx) + А(βу) = αАх + βАу = α(λх) + β(λу) = λ(αx) + λ(βу) = λ(αx + βу).

Таким образом, для вектора z = αх + βу выполняется соотношение Az = λz. Если z - нулевой вектор, то он принадлежит £(А,λ). Если же он ненулевой, то, согласно доказанному соотношению, он является собственным с собственным значением λ и опять-таки принадлежит множеству £(А, λ).

Линейное подпространство £(А,λ) иногда называют собственным подпространством линейного оператора * . Оно является частным случаем инвариантного подпространства линейного оператора А - такого линейного подпространства что для любого вектора х ∈ H вектор Ах также принадлежит H.

Инвариантным подпространством линейного оператора яв-ляется также линейная оболочка любой системы его собствен-ных векторов. Инвариантным подпространством линейного оператора, не связанным с его собственными векторами, является образ оператора .

Вектор Х ≠ 0 называют собственным вектором линейного оператора с матрицей А, если найдется такое число, что АХ =Х.

При этом число называютсобственным значением оператора (матрицы А), соответствующим вектору х.

Иными словами, собственный вектор – это такой вектор, который под действием линейного оператора переходит в коллинеарный вектор, т.е. просто умножается на некоторое число. В отличие от него, несобственные векторы преобразуются более сложно.

Запишем определение собственного вектора в виде системы уравнений:

Перенесем все слагаемые в левую часть:

Последнюю систему можно записать в матричной форме следующим образом:

(А - Е)Х = О

Полученная система всегда имеет нулевое решение Х = О. Такие системы, в которых все свободные члены равны нулю, называют однородными . Если матрица такой системы – квадратная, и ее определитель не равен нулю, то по формулам Крамера мы всегда получим единственное решение – нулевое. Можно доказать, что система имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю, т.е.

|А - Е| = = 0

Это уравнение с неизвестным называютхарактеристическим уравнением (характеристическим многочленом ) матрицы А (линейного оператора).

Можно доказать, что характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Например, найдем собственные значения и собственные векторы линейного оператора, заданного матрицей А = .

Для этого составим характеристическое уравнение |А - Е| = = (1 -) 2 – 36 = 1 – 2+ 2 - 36 = 2 – 2- 35; Д = 4 + 140 = 144; собственные значения 1 = (2 - 12)/2 = -5; 2 = (2 + 12)/2 = 7.

Чтобы найти собственные векторы, решаем две системы уравнений

(А + 5Е)Х = О

(А - 7Е)Х = О

Для первой из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х 2 = с, х 1 + (2/3)с = 0; х 1 = -(2/3)с, т.е. Х (1) = (-(2/3)с; с).

Для второй из них расширенная матрица примет вид

,

откуда х 2 = с 1 , х 1 - (2/3)с 1 = 0; х 1 = (2/3)с 1 , т.е. Х (2) = ((2/3)с 1 ; с 1).

Таким образом, собственными векторами этого линейного оператора являются все вектора вида (-(2/3)с; с) с собственным значением (-5) и все вектора вида ((2/3)с 1 ; с 1) с собственным значением 7.

Можно доказать, что матрица оператора А в базисе, состоящем из его собственных векторов, является диагональной и имеет вид:

,

где  i – собственные значения этой матрицы.

Верно и обратное: если матрица А в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса будут собственными векторами этой матрицы.

Также можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы, а матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

Самый простой линейный оператор - умножение вектора на число \(\lambda \). Этот оператор просто растягивает все вектора в \(\lambda \) раз. Его матричная форма в любом базисе - \(diag(\lambda ,\lambda ,...,\lambda)\). Фиксируем для определенности базис \(\{e\}\) в векторном пространстве \(\mathit{L}\) и рассмотрим линейный оператор с диагональной матричной формой в этом базисе, \(\alpha = diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Этот оператор, согласно определению матричной формы, растягивает \(e_k\) в \(\lambda _k\) раз, т.е. \(Ae_k=\lambda _ke_k\) для всех \(k=1,2,...,n\). С диагональными матрицами удобно работать, для них просто строится функциональное исчисление: для любой функции \(f(x)\) можно положить \(f(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n))=diag(f(\lambda _1),f(\lambda _2),...,f(\lambda _n))\). Таким образом возникает естественный вопрос: пусть имеется линейный оператор \(A\), можно ли выбрать такой базис в векторном пространстве, чтобы матричная форма оператора \(A\) была диагональной в этом базисе? Этот вопрос приводит к определению собственных чисел и собственных векторов.

Определение. Пусть для линейного оператора \(A\) существует ненулевой вектор \(u\) и число \(\lambda \) такие, что \[ Au=\lambda \cdot u. \quad \quad(59) \] Тогда вектор \(u\) называют собственным вектором оператора \(A\), а число \(\lambda \) - соответствующим собственным числом оператора \(A\). Совокупность всех собственных чисел называют спектром линейного оператора \(A\).

Возникает естественная задача: найти для заданного линейного оператора его собственные числа и соответствующие собственные вектора. Эту задачу называют задачей о спектре линейного оператора.

Фиксируем для определенности базис в векторном пространстве, т.е. будем считать, что он раз и навсегда задан. Тогда, как обсуждалось выше, рассмотрение линейных операторов можно свести к рассмотрению матриц - матричных форм линейных операторов. Уравнение (59) перепишем в виде \[ (\alpha -\lambda E)u=0. \] Здесь \(E\) - единичная матрица, а \(\alpha\) - матричная форма нашего линейного оператора \(A\). Это соотношение можно трактовать как систему \(n\) линейных уравнений для \(n\) неизвестных - координат вектора \(u\). Причем это однородная система уравнений, и нам следует найти ее нетривиальное решение. Ранее было приведено условие существования такого решения - для этого необходимо и достаточно, чтобы ранг системы был меньше числа неизвестных. Отсюда следует уравнение для собственных чисел: \[ det(\alpha -\lambda E)=0. \quad \quad(60) \]

Определение. Уравнение (60) называется характеристическим уравнением для линейного оператора \(A\).

Опишем свойства этого уравнения и его решений. Если его выписывать в явном виде, получим уравнение вида \[ (-1)^n\lambda ^n+...+det(A)=0. \quad \quad(61) \] В левой части стоит полином по переменной \(\lambda \). Такие уравнения называются алгебраическими степени \(n\). Приведем необходимые сведения об этих уравнениях.

Справка об алгебраических уравнениях.

Теорема. Пусть все собственные числа линейного оператора \(A\) - простые. Тогда набор собственных векторов, соответствующих этим собственным числам, образует базис векторного пространства.

Из условий теоремы следует, что все собственные числа оператора \(A\) различны. Предположим, что набор собственных векторов линейно зависим, так что существуют константы \(c_1,c_2,...,c_n\), не все из которых нули, удовлетворяющие условию: \[ \sum_{k=1}^nc_ku_k=0. \quad \quad(62) \]

Рассмотрим среди таких формул такую, которая включает минимальное число слагаемых, и подействуем на нее оператором \(A\). В силу его линейности получаем: \[ A\left (\sum_{k=1}^nc_ku_k \right)=\sum_{k=1}^nc_kAu_k=\sum_{k=1}^nc_k\lambda _ku_k=0. \quad \quad(63) \]

Пусть, для определенности, \(c_1 \neq 0\). Умножая (62) на \(\lambda _1\) и вычитая из (63), получим соотношение вида (62), но содержащее на одно слагаемое меньше. Противоречие доказывает теорему.

Итак, в условиях теоремы появляется базис, связанный с данным линейным оператором - базис его собственных векторов. Рассмотрим матричную форму оператора в таком базисе. Как упоминалось выше, \(k\)-ый столбец этой матрицы - это разложение вектора \(Au_k\) по базису. Однако по определению \(Au_k=\lambda _ku_k\), так что это разложение (то, что выписано в правой части) содержит только одно слагаемое и построенная матрица оказывается диагональной. В итоге получаем, что в условиях теоремы матричная форма оператора в базисе его собственных векторов равна \(diag(\lambda _1,\lambda _2,...,\lambda _n)\). Поэтому если необходимо развивать функциональное исчисление для линейного оператора разумно работать в базисе его собственных векторов.

Если же среди собственных чисел линейного оператора есть кратные, описание ситуации становится сложнее и может включать так называемые жордановы клетки. Мы отошлем читателя к более продвинутым руководствам для изучения соответствующих ситуаций.