Критерии оценки качества регрессионной модели, или какая модель хорошая, а какая лучше. Статистическая значимость параметров регрессии и корреляции. Проверка значимости модели множественной регрессии и ее параметров

Коэффициент детерминации является статистикой, т.к.егозначения вычисляются по наблюденным данным. На основе коэффициента детерминации строится статистическая процедура, осуществляющая проверку, насколько значима линейная связь между факторами.

Статистика, проверяющая значимость всего уравнения регрессии имеет вид:

Получаем:

Возрастающим значениям статистики соответствуют и возрастающие значения статистики, поэтому гипотеза, не принимаемая при=, не принимается, если выполняется неравенство, где

Вероятность ошибочно отклонить гипотезу равна.

Вычислим критические значения при для разного количества наблюдений.

Рассмотрим простую линейную регрессию, так что

Критические значения, полученные в зависимости от числа наблюдений:

Т.е., при значительном количестве наблюдений даже малые отклонения фактического значения от 0 оказываются существенными для признания статистической значимости коэффициента регрессии, при содержательной объясняющей переменной.

Призначениесовпадает с квадратом коэффициента корреляции между переменными, такой же вывод верен и для коэффициента корреляции:

Рассмотрим теперь коэффициенты детерминации R 2 для полной и редуцированной модели. В полной модели значение R 2 всегда больше, чем в редуцированной, т.к. в полной модели с m объясняющими переменными минимизируем сумму

по всем значениям коэффициентов. При рассмотрении редуцированной модели, например, безm-ой объясняющей переменной, ищется минимум суммы

по всем значениям коэффициентов, Получаемое при этом значение минимума не может быть больше значения, получаемого при минимизации суммы отклонений по всем значениям, включая и значения. Отсюда и вытекает свойство коэффициента.

Для удобства процедуры выбора модели с использованием предлагается вместоиспользовать его скорректированную (adjusted) форму

в которой вводится штраф, связанный с увеличением числа объясняющих переменных. Получаем:

Таким образом, лучшей признается та из конкурирующих моделей, для которой принимает максимально возможное значение.

Если при сравнении конкурирующих моделей оценивание производится с использованием одинакового количества наблюдений, то сравнение моделей по величине эквивалентно сравнению этих моделей по значению или. При этом выбирается альтернативная модель с минимальным значением (или).

Кроме скорректированных коэффициентов детерминации, при выборе одной из нескольких альтернативных моделей используются информационные критерии, такие как критерий Шварца, критерий Акаике, «штрафующие» за увеличение объясняющих переменных, но несколько другими методами.

КритерийАкаике (Akaike"sinformationcriterion-AIC). Используя этот критерий линейная модель с объясняющими факторами, построенная по наблюдениям, сопоставляется сзначением

Остаточная сумма квадратов. Т.к. первое слагаемое с увеличениемчисла объясняющих переменных уменьшается, а второе слагаемое увеличивается, тоиз альтернативных моделей выбираем модель с наименьшим значением.Таким образом, достигается компромисс между остаточной суммой квадратов и числом объясняющих факторов.

КритерийШварца (Schwarz"sinformationcriterion-SC, SIC). Используя этот критерий линейная модель с объясняющими факторами, построенная по наблюдениям, сопоставляется сзначением

И здесь также как при использовании критерия Акаикеувеличение количества объясняющих факторов ведет к уменьшению первого слагаемогов правой части и к увеличению второго. Из полной и редуцированных альтернативных моделей выбирается модель с наименьшим значением.

Cтраница 1

Значимость модели для решения конкретных исследовательских задач заключается в том, что она позволяет дать количественную оценку скрытых параметров, отражающих динамику двухпродуктовых систем. При решении таких задач понятия внутреннего (продукта I рода) и внешнего (продукта II рода) могут меняться. Так, в построенной В. М. Глушковым с сотрудниками (1979) модели биосинтеза белка роль продуктов I и II рода играют регуляторные и структурные белки, в модели иммунного ответа - соответственно стволовые клетки и лимфоциты, в модели регуляции сердечных сокращений - вещества, которые доставляются миокардиоцитам соответственно через коронарные сосуды и через аорту.  

Оценка значимости модели дается через / - критерий и / J2 для каждого уравнения в отдельности.  

Предположение о значимости модели основывается на двух положениях.  

Все это не умаляет значимости модели. Естественно, без йот немыслимо сущостжшание музыки.  

Наконец, максимальному ограничению значимости договорной модели как таковой способствовало то, что почти все действовавшие в этой области нормы носили абсолютно обязательный (императивный) характер.  

Применение дисперсионного анализа в дополнение к регрессионному позволяет оценить не только значимость модели в целом, но и значимость частных зависимостей.  

Из приведенных данных также следует, что при разбуривании более твердых пород значимости модели выше. Доказательство значимости полученной модели подтверждает гипотезу о нелинейной зависимости рассматриваемых параметров.  

Несмотря на успехи в развитии теории принятия решений она еще долго, по-видимому, будет находиться на промежуточном месте между искусством - умением принимать решения, присущим данному носителю решений, - и наукой как системой принципов, общих положений, процедур и методов. Однако это не снижает актуальности книги: число систем человек - ЭВМ будет увеличиваться, значение принятий решений в сложных ситуациях будет расти, и человек будет все более затрудняться решать соответствующие задачи старыми (точными и вероятностными) методами. Поэтому значимость моделей, использующих формализованные неопределенности на основе идей, отличных от математики случая, может только увеличиваться.  

При индуктивном подходе, характерном для процесса моделирования в рамках анализа хозяйственной деятельности, модель получается путем обобщения наблюдений по единичным частным фактам, учет которых считается важным для принятия решений. Индуктивным путем разрабатываются модели для решения конкретных проблем управления экономикой. Модели включают в себя учет специфических исторически сформированных свойств моделируемого процесса. Основной проблемой составления индуктивных моделей является выбор из совокупности единичных наблюдений тех, которые определяют сущность принимаемого решения, и представление их структуры и связей в формализованном виде. Значимость индуктивных моделей состоит в том, что путем упрощенного описания взаимосвязей информация, содержащаяся в большой совокупности наблюдений, будет представлена в наглядном и сжатом виде. Качество индуктивных моделей не определяется точностью копирования комплексной реальности путем символических систем, а зависит от того, насколько удается, с одной стороны, так упростить модель, чтобы добиться решения проблемы с приемлемыми затратами, но, с другой стороны, отразить основные свойства реальности.  

Если такого рода трудовые соглашения фиксируют уровень заработной платы, то когда ее рыночный уровень отклоняется от уровня, ожидаемого работниками и работодателями при подписании контракта, тогда и для работников, и для работодателей было бы оптимальным изменить установленную номинальную заработную плату. Следовательно, при том, что условия на рынке труда постоянно изменяются, было бы логичным предположить, что с течением времени подобные трудовые соглашения перестанут существовать. Работники и работодатели придут к тому, что номинальную заработную плату нужно менять каждый день, что приведет к эластичной изменчивости номинальной заработной платы в соответствии с динамикой спроса и предложения на рынке труда. На самом деле подтверждением верности подобной критики служит резкое сокращение деятельности профсоюзов в отраслях США в конце 1970 - х - 1980 - е годы. Конечно же, работники, не состоящие в профсоюзах, часто имеют официальные или неофициальные трудовые соглашения с работодателями, но некоторые экономисты считают, что подобное снижение доли состоящих в профсоюзах является подтверждением снижения значимости модели коллективных договоров для экономики США.  

Проверка значимости модели при помощи теста отношения правдоподобия(тест Вальда), начинается с выдвижения основной гипотезы:

Для проверки данной гипотезы вычисляется выборочная статистика

Здесь lnL величина максимального значения логарифма функции правдоподобия, а lnL0- величина логарифма функции правдоподобия в случае справедливости основной гипотезы.

Если основная гипотеза верна, то выборочная статистика (4.7.1) распределена по закону 2 с (m-1) степенью свободы. Границу правосторонней критической области К2 ищут по таблицам критических точек хи-квадрат по уровню значимости (1-б) и (m-1) степени свободы. Если выполняется неравенство:

то основную гипотезу отвергают, принимают альтернативную гипотезу и говорят, что модель статистически значима. В противном случае принимают гипотезу о не значимости модели и переходят к ее пересмотру.

Для моделей бинарного выбора, значимость факторов проверяется при помощи тестирования для каждого фактора хi, i=1,…, (m-1) гипотез вида:

Выборочные статистики, которые используются для тестирования этих гипотез, имеют асимптотически нормальное распределение и называются z-статистиками. Границу двусторонней критической области ищут по таблицам Лапласа по заданному уровню значимости (1-б).

Если выполняется неравенство:

К 1

то принимают основную гипотезу о незначимом отличии от нуля коэффициента i и делают вывод, что соответствующий ему фактор незначим для модели.

Для моделей бинарного выбора не определяется понятие коэффициента детерминации. Однако для них определяют так называемый псевдо коэффициент детерминации, который уже не характеризует объясняющую силу модели

Определение 4.7.1. Псевдо - коэффициентом детерминации называют следующую величину:

Определение 4.7.2. Индексом отношения правдоподобия Макфаддена (McFadden) называют характеристику:

Следует подчеркнуть, что если параметры модели бинарного выбора незначимо отличаются от нуля, то оба введенных коэффициента равны нулю.

На лекции мы рассмотрели нелинейные регрессионные модели, в частности, модели для бинарной зависимой переменной. Эти модели мы рассмотрели для двух функций регрессий: логит (использовали логистическую функцию) и пробит (использовали функцию распределения стандартного нормального закона распределения). Оценки параметров таких функций регрессии получают при помощи метода максимального правдоподобия. Модель тестируют при помощи теста Вальда, в основе которого статистика, имеющая хи-квадрат распределение. При изучении многофакторных регрессионных моделей мы интерпретировали оценки параметров вj, как предельный эффект влияния независимых переменных на у. Вернемся к моделям бинарного выбора. Если мы попытаемся найти производную от P{Y=1|X}, то придем к следующему выражению:

где Z= 0+1х1+...m-1xm-1.

По теореме о производной сложной функции, и из свойства плотности (производная от функции распределения это плотность распределения f(Z)), получаем:

или, используя второе обозначение для оценок параметров:

P{Y=1|X}=вjf(Z)

Как и раньше, через вj обозначены оценки неизвестных параметров.

Тогда, мы можем рассуждать следующим образом: плотность распределения всегда неотрицательна, поэтому знак производной

будет зависеть только от знака оценки параметров, но будет являться функцией всех независимых переменных. Причем, если оценка параметра будет положительной, то увеличение переменной xj будет приводить к увеличению вероятности

а если оценка параметра будет отрицательной, то, соответственно, к уменьшению указанной вероятности.

Замечание. Если фактор х является бинарной переменной, то для него нельзя ввести понятие предельного эффекта.

Для каждой переменной х (количественной!!!) вводят так называемый средний предельный эффект. Для этого вычисляют выборочные средние для количественных переменных и процент «1» для бинарных, и подставляют их в выражение для плотности распределения вместо переменных.

Еще один вопрос для обсуждения: как после оценивания параметров логит (пробит) модели прогнозировать значение у? Поступают, например, следующим образом. Подставляют найденные значения оценок параметров и значения хj в Z и вычисляют значение переменной. Если Z>0, то считают, что У=1, если Z<0, то считают, что У=0. Замечание. Мы рассмотрели ситуацию, когда переменная у была измерена в номинальной шкале, но принимала всего два значения: 0 и 1. В общем случае, когда у может принимать несколько значений, например 0, 1, 2, 3, используют множественный (по у!!) логит или пробит. Кроме того, у может быть измерен в порядковой шкале, тогда в Стате используют порядковый логит (пробит) ologit (oprobit).

Замечание. Очень часто в исследованиях приходится проводить исследования на усеченной выборке. Например, если изучают доходы домохозяйств, то бывают ситуацию, когда респондентов с очень большим доходом (например, больше 1 млн.рубл.) следует исключить из исследования, то есть

То в таких случаях используют Тобит-модели.

Построенных на основе уравнений регрессии , начинается с проверки значимости каждого коэффициента регрессии с помощью Г-критерия Стьюдента  

Можно показать, что для парной линейной модели оба способа проверки значимости с использованием F- и /-критериев равносильны, ибо эти критерии связаны соотношением F = /2.  

При несоблюдении основных предпосылок МНК приходится корректировать модель, изменяя ее спецификацию, добавлять (исключать) некоторые факторы, преобразовывать исходные данные для того, чтобы получить оценки коэффициентов регрессии , которые обладают свойством несмещенности, имеют меньшее значение дисперсии остатков и обеспечивают в связи с этим более эффективную статистическую проверку значимости параметров регрессии . Этой цели, как уже указывалось, служит и применение обобщенного метода наименьших квадратов , к рассмотрению которого мы и переходим в п. 3.11.  

Предложенные методы информационного моделирования технологических цепей и операций, реализованные в соответствующих методиках, не отличаются по форме от корреляционно-регрессионного анализа . Расчет и обоснование моделей проходят по классической схеме решение систем уравнений, оценка значимости коэффициентов, проверка идентичности модели. Типичными являются и задачи, решаемые с помощью моделей оценка взаимосвязей между параметрами ТП, выявление параметров, обладающих наибольшей нормативностью или влиятельностью на другие параметры, возможность расчета межоперационных допусков. Однако с позиций управления технологическими процессами информационные модели более просты, лаконичны и, следовательно, более приемлемы для целей управления.  

Нам необходимо решить, будет ли проверка значимости "односторонней" или "двусторонней". Это решение должно быть принято еще до того, как станут известны результаты рефессии. Выбор определяется теоретическим обоснованием модели связи X и Y, проверяемой с помощью рефессии.  

Проверка значимости скорректированного Л2 - это также проверка значимости связи между зависимой переменной Y и любой из независимых переменных X,-. Действительно, если регрессионная модель имеет высокую степень предоставления объяснения формирования взаимосвязи, изменение зависимой переменной происходит из-за изменений независимых переменных , и суммы квадратов отклонений , объясняемые регрессией (СКР) будут относительно больше остаточной суммы квадратов отклонений (СКО). Если же модель имеет низкую степень предоставления объяснения, изменение зависимой переменной происходит из-за изменения значения ошибки, и СКО будет относительно больше СКР.  

Для проверки значимости (пригодности) полученного уравнения регрессии применяют специальные приемы. Такую проверку называют проверкой адекватности модели.  

Объяснить природу и методы двумерного регрессионного анализа и описать модель, процедуры оценки параметров , нормирование коэффициента регрессии , проверки значимости, процедуру определения точности прогноза, анализ остатков и перекрестную проверку модели.  

Hi) В попытке устранить до некоторой степени недостатки, описанные в пунктах (i) и (it), мы можем разработать модель прогнозирования исходя из усеченного набора имеющихся исторических данных. Например, если у нас есть показатели объема продаж за период с 1990 по 1997 гг., мы можем выработать модель на основе значений только за 1990-1996 гг. Остальные показатели, т. е. показатели за 1997 г., можно использовать для сравнения с прогнозными показателями, полученными с помощью этой модели. Такого рода проверка более реалистична, так как она фактически моделирует прогнозную ситуацию. Недостаток этого метода состоит в том, что самые последние, а следовательно, и наиболее значимые показатели исключены из процесса формирования исходной модели.  

Можно продолжить этот перечень, мы только привели некоторые из возможных факторов. После анализа и проверки существенности всех факторов отбираются наиболее значимые, которые и должны войти в состав многофакторной корреляционной экономико-математической модели определения потребности в машинах напольного безрельсового электротранспорта. Применение такого метода расчета представляется в данном случае наиболее целесообразным. При долгосрочном прогнозировании следует также учитывать факторы научно-технического прогресса , методика определения и учета которых широко изложена в .  

Проверка выдвинутых гипотез дала значительное количество интересных и противоречивых результатов, которые часто указывали на наличие связей, обратных предсказанным. Регрессионная модель показывает все связи, которые проявили себя как достаточно значимые по отношению к основной зависимой переменной , т.е. использованию методов активного трансфера технологий.  

Самое важное решение, которое должен принять аналитик, - это выбор совокупности переменных для описания моделируемого процесса. Чтобы представить себе возможные связи между разными переменными, нужно хорошо понимать существо задачи. В этой связи очень полезно будет побеседовать с опытным специалистом в данной предметной области . Относительно выбранных вами переменных нужно понимать, значимы ли они сами по себе, или же в них всего лишь отражаются другие, действительно, существенные переменные . Проверка на значимость включает в себя кросс-корреляционный анализ . С его помощью можно, например, выявить временную связь типа запаздывания (лаг) между двумя рядами. То, насколько явление может быть описано линейной моделью , проверяется с помощью регрессии по методу наименьших квадратов (OLS). Полученная после оптимизации невязка R может принимать значения от 0 (полное несоответствие) до 1 (точное соответствие). Часто бывает так, что для линейных систем OLS-метод дает такие результа-  

В целом, можно сказать, что предварительная обработка через формирование совокупности переменных и проверку их значимости существенно улучшает качество модели . Если никаких теоретических методов проверки в распоряжении нет, переменные можно выбирать методом проб и ошибок, или с помощью формальных методов типа генетических алгоритмов , .  

Другим известным приемом является вычеркивание связей в чрезмерно связанном графе с целью изучения поведения системы и ее элементов в новых условиях. Устойчивость системы может означать верность гипотезы. Решение об уничтожении той или иной связи модели может быть принято или на основании критерия статистической значимости, или на основании произвольно установленного порогового критерия величины коэффициента причинного влияния. Проверкой правильности гипотез и корректности модели должно служить ее подтверждение при испытаниях на контрольных данных.  

Как показывает рис. 6.3, в случае вероятностных моделей расчет коэффициентов регрессии с использованием выражений (6.7) и (6.8) дает одну оценку величины Y, т.е. E(Yt). Оценки коэффициентов регрессии также предположительно нормально распределены. Нам нужно знать, статистическую значимость этих коэффициентов. Данная задача решается проверкой того, что коэффициенты регрессии значимо отличаются от нуля.  

Из анализа Калдора в его статье Модель экономического роста кажется очевидным, что он (в первом приближении) трактует sw и Sp как константы в течение длительных промежутков времени. Конечно, возможно, что теория Калдора могла бы быть эмпирически значимой, даже когда sp и s изменяются часто. В этом случае проверка теории будет заключаться в наблюдении за динамикой ковариации sp/sw и I/Y. Однако у нас нет наблюдений за sp и sw в различные моменты времени, и поэтому, если теория проверяется на временных рядах , необходимо допускать постоянство sw и sp. Конечно, возможно также, что когда соответствующие данные станут доступными, эта теория сможет быть полезной в объяснении международных или межрегиональных изменений в относительных долях, независимо от временных колебаний sp и s ,.  

Вследствие вышесказанного все выводы, получаемые на основе соответствующих t- и F-статистик, а также интервальные оценки будут ненадежными. Следовательно, статистические выводы , получаемые при стандартных проверках качества оценок , могут быть ошибочными и приводить к неверным заключениям по построенной модели . Вполне вероятно, что стандартные ошибки коэффициентов будут занижены, а следовательно, t-статистики будут завышены. Это может привести к признанию статистически значимыми коэффициентов, таковыми на самом деле не являющимися.  

В целом, говоря о разделении временного интервала на части, отметим, что оно необходимо в тех случаях, когда значения параметров а, менялись во времени (что нарушало предпосылку модели линейной регрессии об их неизменности). Если изменялись они более или менее скачкообразно, то, разделяя временной интервал моментами таких "скачков", можно разбить его на несколько интервалов, на каждом из которых предпосылки модели выполнялись Для проверки статистической значимости различия коэффи-  

Довольно часто гипотеза конвергенции неоклассической модели роста тестируется на примере регионов одной страны. Несмотря на то что возможно наличие расхождений между регионами по уровню развития технологий, предпочтений, и т.д., данные различия будут существенно менее значимыми, чем различия между странами. Поэтому вероятность наличия абсолютной конвергенции между регионами существенно выше, нежели между странами. Вместе с тем при использовании регионов для проверки гипотезы абсолютной сходимости нарушается важная предпосылка неоклассической модели роста - закрытость экономики . Очевидно, что культурные, лингвистические, институциональные и формальные барьеры для перемещения факторов оказываются менее значимыми для группы регионов одной страны. Однако показано, что даже в случае мобильности факторов и, таким образом, нарушения предпосылок исходной модели динамические свойства закрытой экономики и экономики со свободным  

Оцененные коэффициенты статистически значимы, коэффициент детерминации высокий, проверка на адекватность не выявляет нарушений стандартных предположений классической линейной модели регрессии.  

Следует отметить не совсем удачный перевод на русский язык термина dummy variables как фиктивная переменная . Во-первых, в модели регрессионного анализа мы уже имеем фиктивную переменную X при коэффициенте Ро> всегда равную единице. Во-вторых, и это главное - все процедуры регрессионного анализа (оценка параметров регрессионной модели , проверка значимости ее коэффициентов и т. п.) проводятся при включении фиктивных переменных так же, как и обычных, количественных объясняющих переменных. Фиктивность же переменных 2/ состоит только в том, что они количественным образом описывают качественный признак.  

Кроме проверки значимости всей модели, необходимо провести проверки значимости коэффициентов регрессии по /-критерию Стюдента. Минимальное значение коэффициента регрессии Ьг должно соответствовать условию bifob- t, где bi - значение коэффициента уравнения регрессии в натуральном масштабе при i-ц факторном признаке аь. - средняя квадратическая ошибка каждого коэффициента.  

Вернемся к общему (негауссовскому) случаю. Практика многомерного статистического анализа показала, что частные коэффициенты корреляции , определенные соотношениями (1.22) - (1.23), являются, как правило, удовлетворительными измерителями очищенной линейной связи между х(1) и при фиксированных значениях остальных переменных и в случае, когда распределение анализируемых показателей ((0), x(l . .., х(р>) отличается от нормального. Определив с помощью формулы (1.22) частный коэффициент корреляции в случае любого исходного распределения признаков (х(0 х(1 . .., х(р)), включим его в общий математический инструментарий корреляционного анализа линейных моделей . При этом их можно интерпретировать как показатели тесноты очищенной связи, усредненные по всевозможным значениям фиксируемых на определенных уровнях мешающих переменных. 1.2.3. Статистические свойства выборочных частных коэффициентов корреляции (проверка на статистическую значимость их отличия от нуля, доверительные интервалы). При исследовании статистических свойств выборочного частного коэффициента корреляции порядка k (т. е. при исключении опосредованного влияния k мешающих переменных) следует воспользоваться тем (см., например, ), что он распределен точно так же, как и обычный (парный) выборочный коэффициент корреляции между теми же переменными с единственной поправкой объем выборки надо уменьшить на k единиц, т. е. полагать его равным п - , а не я. Поэтому  

Для probit- или /опроверка гипотез о наличии ограничений на коэффициенты, в частности, гипотез о значимости одного или группы коэффициентов, может проводиться с помощью любого из трех тестов - Вальда, отношения правдоподобия , множителей Лагранжа , рассмотренных в главе 10 (п. 10.6). Большинство эконометрических пакетов, в которых реализованы probit- или /о

Пусть мы приступаем к эксперименту, полагая, что адекватна модель , содержащая только k главных эффектов , или, в терминологии регрессионного анализа , мы имеем модель первого порядка. Если взять насыщенный план разрешения III, то можно точно подогнать модель, но нельзя проверить ее адекватность. Однако, если (k + 1) не кратно четырем, план разрешения III будет не насыщенным, или, если все же (k + 1) кратно четырем, можно взять план разрешения IV. В обоих случаях мы сможем оценить несколько (смешанных) первых взаимодействий. Далее, если одна или несколько экспериментальных точек дублировалось, мы независимо оценим а2 и сможем проверить значимость наших парных взаимодействий. Пусть одни взаимодействия окажутся значимыми, а другие- - нет. Тогда может иметь смысл взять модель со всеми взаимодействиями. Несмотря на то что некоторые взаимодействия незначимы, их несмещенные МНК-оценки с минимальной дисперсией не равны нулю (хотя и малы). Так, если все факторы количественные , мы можем взять полином второго порядка (со всеми парными взаимодействиями плюс полные квадраты) вместо модели первого порядка. Сравните также с обсуждением в и в , где рассмотрена практика проверки отдельных параметров. Итак, вместо раздельной проверки эффектов мы можем получить их общую (объединенную) сумму квадратов и сравнить ее средний квадрат с независимой оценкой сг2.20  

Если мы отбрасываем гипотезу о корректности нашей модели, то обычно переходим к модели более высокого порядка 21. Это приводит к последовательному планированию . Мы можем начать с плана из очень малого числа опытов. Затем мы увидим, что планы разрешения III годятся для изучения k факторов всего в N = k + 1 опытах, если N кратно четырем, иначе мы возьмем следующий план с Nlt кратным четырем. Если АГ не" кратно четырем или же если есть некоторые дополнительные опыты, то мы можем проверить, адекватна ли модель первого порядка. Для этого мы можем подсчитать некоторые суммы квадратов взаимодействий или остаточную сумму квадратов . При наличии независимой оценки а2 (из параллельных или предварительных опытов) можно воспользоваться /""-критерием. А если взаимодействия окажутся значимыми, то мы можем перейти к плану разрешения IV. f K счастью, мы видим, что построить план разрешения IV из плана разрешения III не представляет никакого труда. Мы просто должны повторить план разрешения III с обратными знаками, т. е. помимо Ыг опытов плана22 разрешения III, которые мы уже провели, мы берем еще NI опытов. По определению, план разрешения IV дает оценки главных эффектов , которые не смешаны с парными взаимодействиями. Поэтому из плана разрешения IV мы можем надежно заключить, есть ли у какого-либо фактора главный эффект (при условии, что нет взаимодействий трех и более факторов это условие можно проверить при проверке адекватности по плану разрешения IV). Если предположить, что те факторы, у которых нет главных эффектов , не имеют и взаимодействий, то вполне возможно, что на основании плана разрешения IV мы исключим некоторые факторы. Иметь меньше факторов это значит, что сокращается число опытов, необходимых для эксперимента (ср. с табл. 8). Оставшиеся факторы можно изучить в плане разрешения V.  

Напомним (см. разд. 1.4. Главы 1), что поскольку логит-модель является нелинейной моделью , то оцененные коэффициенты имеют интерпретацию, отличающуюся от интерпретации коэффициентов в линейной модели . В связи с этим, в третьем столбце табл. 1 приведены значения предельного эффекта для переменных со статистически значимыми оценками коэффициентов, вычисленные при средних значениях объясняющих переменных на рассмотренном периоде. Так, значение 0.060 предельного эффекта для дамми переменной end of period означает, что если аукцион проводится в конце периода между проверками выполнения требований в отношении резервов, то (при неизменных значениях остальных объясняющих переменных) шансы за то, что банк примет участие в аукционе, против того, что банк не примет участие в аукционе, возрастают в среднем приблизительно на 6%.  

Для оценки значимости параметров уравнения множественной регрессии используют критерий Стьюдента. Напомним, что значимость параметров означает их отличие от нуля с высокой долей вероятности. Нулевой гипотезой в данном случае является утверждение

Фактическое значение t-критерия определяется по формуле

(2.27)

В формуле (2.27) под оценкой параметра понимается как коэффициент регрессии, так и свободный член (при ). Величина среднего квадратического отклонения оцениваемого параметра определяется как корень из дисперсии , рассчитанной по формуле (2.25). Величину называют стандартной ошибкой параметра .

Формулу для оценки коэффициента регрессии (т.е. для ) можно привести к виду

(2.28)

где – среднее квадратическое отклонение результативной переменной ; – среднее квадратическое отклонение объясняющей переменной , являющейся сомножителем коэффициента ; – коэффициент детерминации, найденный для уравнения зависимости переменной от переменных , включая ; – коэффициент детерминации, найденный для уравнения зависимости переменной от других переменных , входящих в рассматриваемую модель множественной регрессии.

Теоретическое значение t-критерия находят по таблице значений критерия Стьюдента для уровня значимости а и числа степеней свободы . Уровень значимости а представляет собой вероятность ошибки первого рода, т.е. вероятность отвергнуть гипотезу , когда она верна. Как правило, а выбирают равным 0,1; 0,05 или 0,01.

Нулевая гипотеза о незначимости параметра : отвергается, если выполняется неравенство

(2.29)

где – теоретическое значение критерия Стьюдента.

На основе выражения (2.29) можно построить также доверительный интервал для оцениваемого параметра :

Выражение (2.30) позволяет как оценить значимость параметра, так и дать его экономическую интерпретацию (если оценивается коэффициент регрессии). Очевидно, что параметр будет значим, если в доверительный интервал (2.30) не входит нуль, т.е. с большой долей вероятности оцениваемый параметр не равен нулю.

Так как коэффициент регрессии является абсолютным показателем силы связи, границы доверительного интервала и для него также можно интерпретировать аналогичным образом: с вероятностью при единичном изменении независимой переменной зависимая переменная у изменится не меньше, чем на , и не больше, чем на .

Рассмотрим результаты оценки значимости параметров для примера 2.1. Стандартные ошибки параметров равны

Напомним, что под знаком корня в квадратных скобках стоит элемент матрицы , который находится на пересече-

нии j-й строки и j-го столбца, номер; равен номеру оцениваемого параметра.

Фактическое значение критерия Стьюдента равно

Табличное значение t-критерия для и уровне значимостисоставляет 2,0153, следовательно, все параметры, кроме свободного члена, значимы .

Найдем границы доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

Отметим, что, руководствуясь значениями границ доверительных интервалов, можно сделать те же выводы о значимости коэффициентов регрессии (так как нуль не попадает в доверительный интервал). Выводы в данном случае и не могли быть иными, чем при сравнении фактического и табличного значений критерия Стьюдента, так как формула (2.30) является следствием формулы (2.29). Дадим экономическую интерпретацию границ доверительных интервалов для коэффициентов регрессии.

Коэффициент является характеристикой силы связи между объемом поступления налогов и количеством занятых. С учетом значений границ доверительного интервала дляможно сказать, что изменение количества занятых на 1 тыс. человек приведет к изменению (с вероятностью 0,95 ()) поступления налогов не менее чем на 3,56 млн руб. и не более чем на 21,34 млн руб. при неизменном объеме отгрузки в обрабатывающих производствах и производстве энергии. Для двух других коэффициентов регрессии выводы будут следующими.

Изменение объема отгрузки в обрабатывающих производствах на 1 млн руб. приведет к изменению (с вероятностью 0,95 ()) поступления налогов не менее чем на 0,028 млн руб. и не более чем на 0,092 млн руб. при неизменных значениях количества занятых и производства энергии.

При изменении производства энергии на 1 млн руб. поступление налогов изменится (с вероятностью 0,95 ()) не менее чем на 0,13 млн руб. и не более чем на 0,18 млн руб. при неизменных значениях количества занятых и объема отгрузки в обрабатывающих производствах.

Как было отмечено в параграфе 2.2, при построении модели регрессии с использованием центрированных переменных коэффициенты регрессии не отличаются от коэффициентов регрессии в натуральной форме. Это утверждение относится также к величине стандартных ошибок коэффициентов регрессии и, следовательно, к фактическим значениям критерия Стьюдента.

При использовании стандартизованных переменных меняется масштаб их измерения, что приводит к другим, чем в исходной регрессии, значениям параметров (стандартизованных коэффициентов регрессии) и их стандартных ошибок. Однако фактические значения критерия Стьюдента для параметров уравнения в стандартизованном масштабе совпадают с теми значениями, которые были получены по уравнению в натуральном масштабе.

Для оценки значимости всего уравнения регрессии в целом используется критерий Фишера (F-критерий) , который в данном случае называют также общим F-критерием . Под незначимостью уравнения регрессии понимается одновременное равенство нулю (с высокой долей вероятности) всех коэффициентов регрессии в генеральной совокупности:

Фактическое значение F-критерия определяется как соотношение факторной и остаточной сумм квадратов, рассчитанных по уравнению регрессии и скорректированных на число степеней свободы:

(2.31)

где – факторная сумма квадратов; – остаточная сумма квадратов.

Теоретическое значение F-критерия находят по таблице значений критерия Фишера для уровня значимости α, числа степеней свободы и . Нулевая гипотеза отвергается, если

где – теоретическое значение критерия Фишера.

Отметим, что если модель незначима, то незначимы и показатели корреляции, рассчитанные по ней. Действительно, если

и линия регрессии параллельна оси абсцисс. Кроме того, из системы нормальных уравнений, полученной по методу наименьших квадратов (2.8), следует, что .

При нулевых значения всех коэффициентов регрессии имеем выражение

т.е. при равенстве всех коэффициентов регрессии нулю (их статистической незначимости) коэффициент детерминации также будет равен нулю (статистически незначим).

Формулу (2.31) расчета F-критерия можно преобразовать, разделив факторную и остаточную суммы квадратов на общую сумму квадратов:

После простых преобразований получаем выражение

Расчет общего F-критерия можно оформить в виде таблицы дисперсионного анализа (табл. 2.2).

Таблица 2.2. Анализ статистической значимости модели множественной регрессии

Аналогичную таблицу дисперсионного анализа можно увидеть в результатах компьютерной обработки данных. Ее отличие

от приведенной выше таблицы заключается в содержании последнего столбца. В нашем случае это теоретическое значение критерия Фишера. В компьютерных вариантах в последнем столбце приводится значение вероятности допустить ошибку первого рода (отвергнуть верную нулевую гипотезу), которая соответствует фактическому значению F-критерия. В Excel эта величина называется "значимость F". Обозначим величину, выдаваемую компьютером в таблице дисперсионного анализа, как . Ее значение можно проинтерпретировать следующим образом: если теоретическое значение F-критерия равно его фактическому значению, то вероятность ошибки первого рода (уровень значимости) равна .

Выбирая для определения табличного значения критерия некий уровень значимости, мы соглашаемся на величину ошибки, равную. Следовательно, если , то фактическая ошибка будет меньше запланированной и можно говорить о значимости уравнения регрессии при заданном уровне значимости .

Проверим на статистическую значимость уравнение регрессии, полученное в примере 2.1. Фактическое значение F-критерия равно

Табличное значение критерия Фишера для а = 0,05, числа степеней свободы и равно 2,82. Так как фактическое значение F-критерия больше табличного, уравнение регрессии значимо с вероятностью Следовательно, значим также коэффициент детерминации, т.е. он с большой долей вероятности отличен от нуля.

При использовании опции "Регрессия" в ППП Excel для данного примера получена следующая таблица дисперсионного анализа (табл. 2.3).

Таблица 2.3. Таблица дисперсионного анализа, полученная при применении опции "Регрессия" в ППП Excel

Фактическое значение F-критерия содержится в предпоследнем столбце данной таблицы. Отметим, что его значение отличается от приведенного выше из-за ошибок округления. В последнем столбце табл. 2.3 приведена вероятность допустить ошибку первого рода. Она равна 1,10224Е -12, т.е. 0,00000000000110224. Нами задана максимальная величина этой вероятности, равная 0,05. Так как фактическое значение вероятности допустить ошибку первого рода меньше (значительно меньше) установленного нами максимального, нулевая гипотеза о незначимости уравнения регрессии должна быть отвергнута.