Decomposição de curvas periódicas não senoidais em uma série trigonométrica de Fourier. Série de Fourier na forma de harmônicos simples. Decomposição de espectros de curvas periódicas não senoidais em uma série trigonométrica de Fourier

transformada de Fourier representa o meio mais usado de converter uma função arbitrária de tempo em um conjunto de seus componentes de frequência no plano de números complexos. Esta transformação pode ser aplicada a funções aperiódicas para determinar seus espectros, caso em que o operador complexo s pode ser substituído por bigode:

Para determinar as frequências mais interessantes, a integração numérica no plano complexo pode ser usada.

Para nos familiarizarmos com os fundamentos do comportamento dessas integrais, consideramos vários exemplos. Na Fig. 14.6 (esquerda) mostra o pulso de área unitária no domínio do tempo e sua composição espectral; no centro - um pulso da mesma área, mas de maior amplitude, e à direita - a amplitude do pulso é infinita, mas sua área ainda é igual à unidade. A imagem da direita é especialmente interessante porque o espectro de pulso de largura zero contém todas as frequências com amplitudes iguais.

Arroz. 14.6.

Em 1822, um matemático francês J.B.J. Fourier(J. B. J. Fourier) mostrou em seu trabalho sobre condutividade térmica que qualquer função periódica pode ser decomposta em componentes iniciais, incluindo uma frequência de repetição e um conjunto de harmônicos dessa frequência, cada um dos harmônicos tendo sua própria amplitude e fase em relação à taxa de repetição . As fórmulas básicas usadas na transformada de Fourier são as seguintes:

Onde L 0é o componente DC, e MAS" e NO"- harmônicos da frequência fundamental da ordem P, em fase e fase oposta, respectivamente. Função f(x), assim, é a soma desses harmônicos e /1 0 .

Nos casos em que /(.r) é simétrico em relação a n/2, ou seja, /(x) na região de n a 2n = -/(x) na região de 0 a n, e não há componente de corrente contínua , as fórmulas de Fourier -transformações são simplificadas para:

Onde P- 1,3,5, 7....

Todos os harmônicos são senoides, apenas alguns estão em fase e alguns estão fora de fase com a frequência fundamental. A maioria das formas de onda encontradas na eletrônica de potência pode ser decomposta em harmônicos dessa maneira.

Se a transformada de Fourier for aplicada a pulsos retangulares com duração de 120°, então os harmônicos formarão um conjunto de ordem k = 6p± 1, onde Pé um dos inteiros. Amplitude de cada harmônico h em relação ao primeiro está relacionado ao seu número pela relação h = /k. Nesse caso, o primeiro harmônico terá uma amplitude 1,1 vezes maior que a amplitude de um sinal retangular.

A transformada de Fourier dá o valor da amplitude para cada harmônico, mas como são todos senoidais, o valor rms é obtido simplesmente dividindo a amplitude correspondente pela raiz de 2. O valor rms de um sinal complexo é a raiz quadrada da soma de os quadrados dos valores rms de cada harmônico, incluindo o primeiro.

Ao lidar com funções de impulso repetitivas, é útil considerar o ciclo de trabalho. Se os pulsos repetidos na Fig. 14,7 são RMS X durante MAS, então o valor da raiz quadrada média para o tempo NO será igual a H(L/W) ( 2. Assim, o valor RMS dos pulsos repetitivos é proporcional à raiz quadrada do valor do ciclo de trabalho. Aplicando este princípio a um pulso retangular de 120° (duty cycle 2/3) com amplitude unitária, obtemos o valor RMS (2/3) 12 = 0,8165.

Arroz. 14.7.

impulsos

É interessante verificar este resultado somando os harmônicos correspondentes ao mencionado trem de ondas quadradas. Na tabela. 14.2 mostra os resultados desta soma. Como você pode ver, tudo combina.

Tabela 14.2. Os resultados da soma dos harmônicos correspondentes a

sinal periódico com ciclo de trabalho 2/3 e amplitude da unidade

Para fins de comparação, qualquer conjunto de harmônicos pode ser agrupado e o nível geral correspondente de distorção harmônica determinado. Neste caso, o valor quadrado médio do sinal é determinado pela fórmula

Onde h- amplitude do primeiro harmônico (fundamental), um „- amplitude dos harmônicos de ordem P > 1.

Os componentes responsáveis ​​pela distorção podem ser escritos separadamente como

Onde n> 1. Então

Onde fundo- primeiro harmônico e THD(THD) será igual a D/fundo.

Embora a análise de ondas quadradas seja interessante, raramente é usada no mundo real. Efeitos de comutação e outros processos tornam os pulsos retangulares mais trapezoidais, ou no caso de conversores, com uma borda ascendente descrita pela expressão 1 - cos(0) e uma borda descendente descrita pela relação cos(0), onde 0 Aumento em A onda quadrada de subida e descida "suaviza" o conjunto de harmônicos correspondentes, de modo que a amplitude dos harmônicos de alta ordem diminui em proporção a (1/Ar) em vez de (1 /para) em frequências mais baixas. Ao exibir a dependência dessas amplitudes na frequência em papel com uma escala logarítmica dupla, a inclinação das seções correspondentes deste gráfico é -2 e -1. À medida que a reatância ou corrente no sistema aumenta, a frequência da mudança de inclinação diminui . O resultado prático de tudo isso é que os harmônicos mais altos são menos importantes do que se poderia pensar.

Embora o aumento reatância contribui para a redução de harmônicos de ordem superior, isso geralmente não é viável. Mais preferido para redução de componentes harmônicos na corrente consumidaé o aumento do número de pulsos durante a retificação ou conversão de tensão, obtido por deslocamento de fase. Com relação aos transformadores, este tópico foi abordado no Cap. 7. Se o conversor ou retificador do tiristor for alimentado a partir dos enrolamentos do transformador conectados por uma estrela e delta, e as saídas do conversor ou retificador forem conectadas em série ou em paralelo, uma retificação de 12 nulos é obtida. Números harmônicos em um conjunto são agora obtidos k = 12P± 1 em vez disso k = 6w ± 1, onde Pé um dos inteiros. Em vez dos harmônicos de 5ª e 7ª ordem, agora aparecem harmônicos de 11ª e 13ª ordens, cuja amplitude é muito menor. É bem possível usar ainda mais pulsações e, por exemplo, em grandes fontes de alimentação para instalações eletroquímicas, são usados ​​sistemas de 48 pulsações. Como grandes retificadores e conversores usam conjuntos de diodos ou tiristores conectados em paralelo, o custo adicional dos enrolamentos de mudança de fase em um transformador determina principalmente seu preço. Na Fig. 14.8 mostra as vantagens de um circuito de 12 pulsos sobre um de 6 pulsações. Os harmônicos de 11ª e 13ª ordem no circuito de 12 nulos têm um valor de amplitude típico de aproximadamente 10% do primeiro harmônico. Em circuitos com grande número de ondulações, os harmônicos são da ordem k = pp± 1, onde R- número de pulsações.

Por uma questão de interesse, observe que pares de conjuntos harmônicos que são simplesmente deslocados um em relação ao outro em 30° não se cancelam em um circuito de 6 pulsos. Essas correntes harmônicas retornam através do transformador; assim, uma mudança de fase adicional é necessária para obter a possibilidade de sua aniquilação mútua.

Nem todos os harmônicos estão em fase com o primeiro. Por exemplo, em um conjunto harmônico trifásico correspondente a um trem de onda quadrada de 120°, as fases dos harmônicos mudam de acordo com a sequência -5º, +7º, -11º, +13º, etc. componentes monofásicos do circuito podem ocorrer, o que implica uma triplicação de harmônicos com deslocamento de fase zero.

Arroz. 14.8.

Transformadores de isolamento muitas vezes visto como uma panacéia para problemas harmônicos. Esses transformadores adicionam alguma reatância ao sistema e, assim, ajudam a reduzir harmônicos mais altos, no entanto, além da supressão de correntes de sequência zero e isolamento eletrostático, eles são de pouca utilidade.

Decomposição de funções periódicas não senoidais

Definições gerais

Parte 1. Teoria dos circuitos lineares (continuação)

ENGENHARIA ELÉTRICA

BASE TEÓRICA

Livro didático para estudantes de especialidades de energia elétrica

T. Circuitos elétricos de corrente periódica não senoidal

Como você sabe, na indústria de energia elétrica, uma forma senoidal é adotada como forma padrão para correntes e tensões. No entanto, em condições reais, as formas das curvas de correntes e tensões podem diferir até certo ponto das senoidais. Distorções nas formas das curvas dessas funções em receptores levam a perdas adicionais de energia e uma diminuição em sua eficiência. A forma senoidal da curva de tensão do gerador é um dos indicadores da qualidade da energia elétrica como commodity.

As seguintes razões para a distorção da forma das curvas de correntes e tensões em um circuito complexo são possíveis:

1) a presença no circuito elétrico de elementos não lineares, cujos parâmetros dependem dos valores instantâneos de corrente e tensão [ R, L, C = f(você, eu)], (por exemplo, retificadores, unidades de solda elétrica, etc.);

2) a presença no circuito elétrico de elementos paramétricos, cujos parâmetros mudam ao longo do tempo [ R, L, C = f(t)];

3) a fonte de energia elétrica (gerador trifásico), devido às características de projeto, não pode fornecer uma forma senoidal ideal da tensão de saída;

4) influência no complexo dos fatores listados acima.

Circuitos não lineares e paramétricos são discutidos em capítulos separados do curso TOE. Este capítulo investiga o comportamento de circuitos elétricos lineares quando expostos a fontes de energia com forma de onda não senoidal.

Sabe-se do curso da matemática que qualquer função periódica do tempo f(t) que satisfaz as condições de Dirichlet pode ser representada pela série harmônica de Fourier:

Aqui MAS 0 - componente constante, - k-ésima componente harmônica ou abreviada k Eu sou uma harmônica. O 1º harmônico é chamado de fundamental, e todos os harmônicos subsequentes são chamados de mais altos.

Amplitudes de harmônicos individuais A a não dependem da forma como a função é expandida f(t) em uma série de Fourier, enquanto as fases iniciais dos harmônicos individuais dependem da escolha da referência de tempo (origem).

Os harmônicos individuais da série de Fourier podem ser representados como a soma dos componentes seno e cosseno:

Então toda a série de Fourier terá a forma:

As razões entre os coeficientes das duas formas da série de Fourier são:

Se um k th harmônico e seus componentes seno e cosseno são substituídos por números complexos, então a relação entre os coeficientes da série de Fourier pode ser representada na forma complexa:

Se uma função periódica não senoidal do tempo é dada (ou pode ser expressa) analiticamente na forma de uma equação matemática, então os coeficientes da série de Fourier são determinados pelas fórmulas conhecidas do curso de matemática:

Na prática, a função não senoidal investigada f(t) geralmente é definido na forma de um diagrama gráfico (graficamente) (Fig. 118) ou na forma de uma tabela de coordenadas de pontos (tabular) no intervalo de um período (Tabela 1). Para realizar uma análise harmônica de tal função de acordo com as equações acima, ela deve primeiro ser substituída por uma expressão matemática. A substituição de uma função dada graficamente ou tabularmente por uma equação matemática é chamada de aproximação de função.

No capítulo anterior, encontramos outro ponto de vista sobre o sistema oscilante. Vimos que vários auto-harmônicos surgem em uma corda, e que qualquer vibração parcial que pode ser obtida das condições iniciais pode ser considerada como uma combinação adequadamente proporcionada de vários auto-harmônicos oscilando simultaneamente. Para uma corda, descobrimos que as auto-harmônicas têm frequências ω 0 , 2ω 0 , Зω 0 , ... . Portanto, o movimento mais geral da corda consiste em oscilações senoidais da frequência fundamental ω 0, depois o segundo harmônico 2ω 0, depois o terceiro harmônico Зω 0, etc. O harmônico fundamental se repete a cada período T 1 =2π/ω 0 , o segundo harmônico se repete a cada período T 2 \u003d 2π / 2ω 0; ele se repete também e cada período T 1 =2T 2 , ou seja, depois dois seus períodos. Da mesma forma, após um período T 1 o terceiro harmônico se repete. Este segmento contém três de seus períodos. E novamente entendemos por que a corda tocada após um período T 1 repete completamente a forma de seu movimento. É assim que o som musical é produzido.

Até agora falamos sobre o movimento de uma corda. No entanto som, que é o movimento do ar causado pelo movimento da corda, também deve consistir nos mesmos harmônicos, embora aqui não possamos mais falar dos próprios harmônicos do ar. Além disso, a força relativa dos vários harmônicos no ar pode ser muito diferente daquela em uma corda, especialmente se a corda estiver "conectada" ao ar por meio de uma "placa de ressonância". Diferentes harmônicos estão relacionados ao ar de maneiras diferentes.

Se para um tom musical a função f(t) representa a pressão do ar em função do tempo (digamos, como na Fig. 50.1,6), então podemos esperar que f(t) é escrito como a soma de um certo número de funções harmônicas simples do tempo (como cos ω t) para cada uma das várias frequências harmônicas. Se o período de oscilação for T, então a frequência angular fundamental será ω=2π/T, e os próximos harmônicos serão 2ω, Зω, etc.

Aí vem uma pequena complicação. Não podemos esperar que para cada frequência as fases iniciais sejam necessariamente iguais entre si. Portanto, você precisa usar funções como cos (ωt + φ) - Em vez disso, no entanto, é mais fácil de usar para cada frequências são seno e cosseno. Lembre-se que

e como φ é uma constante, então algum oscilações senoidais com frequência co podem ser escritas como uma soma de termos, um dos quais inclui sen ωt e o outro cos ωt.

Então chegamos à conclusão de que algum função periódica f(t) com um período T matematicamente pode ser escrito como

Onde ω=2π/T, uma uma e b - constantes numéricas indicando com que peso cada componente da oscilação está incluído na oscilação total f(t). Para maior generalidade, adicionamos um termo com frequência zero a 0 à nossa fórmula, embora geralmente seja igual a zero para tons musicais. Isso é simplesmente uma mudança no valor médio da pressão sonora (ou seja, uma mudança de nível “zero”). Com este termo, nossa fórmula vale para qualquer caso. A equação (50.2) é mostrada esquematicamente na FIG. 50.2. Amplitudes de funções harmônicas uman e bn são selecionados de acordo com uma regra especial. Eles são mostrados apenas esquematicamente na figura e não são desenhados em escala. [A série (50.2) é chamada perto de Fourier para funções f(t).]

Nós dissemos isso algum uma função periódica pode ser escrita nesta forma. Uma pequena correção deve ser feita e deve-se enfatizar que, em geral, qualquer onda sonora ou qualquer função que encontramos na física pode ser expandida em tal série. Os matemáticos, é claro, podem criar uma função que não pode ser composta de harmônicos simples (por exemplo, uma função que "envolve" de volta, de modo que para algumas quantidades t tem dois significados!). No entanto, não precisamos nos preocupar com essas funções aqui.

Descrições gerais

O matemático francês Fourier (J. B. J. Fourier 1768-1830) proclamou uma hipótese bastante ousada para seu tempo. De acordo com essa hipótese, não há função que não possa ser expandida em uma série trigonométrica. No entanto, infelizmente, naquela época, essa ideia não foi levada a sério. E é natural. O próprio Fourier foi incapaz de fornecer evidências convincentes, e é muito difícil acreditar intuitivamente na hipótese de Fourier. É especialmente difícil imaginar o fato de que ao adicionar funções simples como funções trigonométricas, funções completamente diferentes delas são reproduzidas. Mas se assumirmos que a hipótese de Fourier está correta, então um sinal periódico de qualquer forma pode ser decomposto em senoides de várias frequências, ou vice-versa, por meio da adição apropriada de senoides com diferentes frequências, é possível sintetizar um sinal de qualquer forma. Portanto, se essa teoria estiver correta, seu papel no processamento de sinais pode ser muito grande. Neste capítulo, primeiro tentaremos ilustrar a correção da conjectura de Fourier.

Considere a função

f(t)= 2pecado t- pecado 2t

Série trigonométrica simples

A função é a soma das funções trigonométricas, ou seja, é apresentada como uma série trigonométrica de dois membros. Adicione um termo e crie uma nova série de três termos

Adicionando alguns termos novamente, obtemos uma nova série trigonométrica de dez termos:

Denotamos os coeficientes desta série trigonométrica como b k , onde k - números inteiros. Se você observar atentamente a última razão, poderá ver que os coeficientes podem ser descritos pela seguinte expressão:

Então a função f(t) pode ser representada da seguinte forma:

Chances b k - estas são as amplitudes de senoides com frequência angular para. Em outras palavras, eles definem a magnitude dos componentes de frequência.

Considerando o caso em que o sobrescrito paraé igual a 10, ou seja M= 10. Aumentando o valor M até 100, obtemos a função f(t).

Esta função, sendo uma série trigonométrica, aproxima-se de um sinal em forma de dente de serra. E parece que a hipótese de Fourier está absolutamente correta em relação aos sinais físicos com os quais estamos lidando. Além disso, neste exemplo, a forma de onda não é suave, mas inclui pontos de interrupção. E o fato de a função ser reproduzida mesmo em pontos de quebra parece promissor.

No mundo físico, existem de fato muitos fenômenos que podem ser representados como a soma de vibrações de várias frequências. Um exemplo típico desses fenômenos é a luz. É a soma das ondas eletromagnéticas com comprimento de onda de 8.000 a 4.000 angstroms (do vermelho ao roxo). Claro, você sabe que, se a luz branca passar por um prisma, aparecerá um espectro de sete cores puras. Isso ocorre porque o índice de refração do vidro do qual o prisma é feito varia com o comprimento de onda da onda eletromagnética. Esta é precisamente a prova de que a luz branca é a soma de ondas de luz de diferentes comprimentos. Assim, passando a luz por um prisma e obtendo seu espectro, podemos analisar as propriedades da luz examinando as combinações de cores. Da mesma forma, decompondo o sinal recebido em seus vários componentes de frequência, podemos descobrir como surgiu o sinal original, qual caminho seguiu ou, finalmente, a que influência externa foi submetido. Em uma palavra, podemos obter informações para descobrir a origem do sinal.

Esse método de análise é chamado análise espectral ou Análise de Fourier.

Considere o seguinte sistema de funções ortonormais:

Função f(t) pode ser expandido neste sistema de funções no intervalo [-π, π] como segue:

Coeficientes α k,β k , como mostrado anteriormente, pode ser expresso em termos de produtos escalares:

Em geral, a função f(t) pode ser representado da seguinte forma:

Coeficientes α 0 , α k,β k é chamado Coeficientes de Fourier, e tal representação de uma função é chamada expansão em série de Fourier.Às vezes, essa visão é chamada válido expansão em uma série de Fourier, e os coeficientes são os coeficientes de Fourier reais. O termo "real" é introduzido para distinguir a expansão apresentada da expansão na série de Fourier na forma complexa.

Como mencionado anteriormente, uma função arbitrária pode ser expandida em termos de um sistema de funções ortogonais, mesmo que as funções desse sistema não sejam representadas como uma série trigonométrica. Normalmente, a expansão em uma série de Fourier significa expansão em uma série trigonométrica. Se os coeficientes de Fourier são expressos em termos de α 0 , α k,β k obtemos:

Uma vez que para k = 0 traje= 1, então a constante a 0/2 expressa a forma geral do coeficiente a k no k= 0.

Em relação (5.1), a oscilação do maior período, representada pela soma porque t e pecado t é chamado de oscilação da frequência fundamental ou primeiro harmônico. Uma oscilação com um período igual à metade do período principal é chamada de segunda harmônica. Uma oscilação com período igual a 1/3 do período principal é chamada terceiro harmônico etc. Como pode ser visto na relação (5.1) uma 0 é um valor constante que expressa o valor médio da função f(t). Se a função f(t)é um sinal elétrico um 0 representa seu componente constante. Portanto, todos os outros coeficientes de Fourier expressam seus componentes variáveis.

Na Fig. 5.2 mostra o sinal e sua expansão em uma série de Fourier: em uma componente constante e harmônicos de várias frequências. No domínio do tempo, onde a variável é o tempo, o sinal é expresso pela função f(t), e no domínio da frequência, onde a variável é a frequência, o sinal é representado pelos coeficientes de Fourier (ak, bk).

O primeiro harmônico é uma função periódica com período 2 π. Outros harmônicos também têm um período que é um múltiplo de 2 π . Com base nisso, ao formar um sinal a partir das componentes da série de Fourier, obtemos naturalmente uma função periódica com período 2 π. E se for assim, então a expansão em uma série de Fourier é, de fato, uma forma de representar funções periódicas.

Vamos expandir o sinal de um tipo de ocorrência frequente em uma série de Fourier. Por exemplo, considere a curva dente de serra mencionada anteriormente (Figura 5.3). Um sinal desta forma em um segmento - π < t < π i é expresso pela função f( t)= t, de modo que os coeficientes de Fourier podem ser expressos da seguinte forma:

Exemplo 1

Expansão em série de Fourier de um sinal dente de serra

f(t) = t,

Vamos começar com um circuito simples para cobrir os conceitos básicos que usaremos posteriormente para circuitos mais complexos. Na fig. 7.1 mostra a tensão de entrada V BX.p = 1 V, esta é uma onda senoidal com uma frequência f\u003d 1 kHz e um valor máximo de 1 V (rms V em=√2). Para fornecer uma tensão de saída que é uma função não linear da tensão de entrada, uma fonte de tensão controlada por tensão E (VUNC) é usada como amplificador. Neste exemplo, a dependência da tensão de saída na entrada é exibida pela função

f(x) = 1 + X + X².

Arroz. 7.1. Esquema com uma relação não linear entre as tensões de entrada e saída

Essa relação funcional é exibida no comando E usando coeficientes polinomiais. Visão geral do polinômio:

f(X) = k 0 + k 1 X + k 2 X².

Para chegar ao nosso exemplo de dependência, usamos os três últimos números do comando de entrada E. Queremos fazer uma análise harmônica para ver quais harmônicos estão presentes na tensão de saída, mas primeiro vamos tentar determinar o que devemos esperar.

Antes de prosseguir com a expansão das dependências temporais em uma série de Fourier, é necessário realizar uma análise para processos transitórios (programa de análise transitória em PSpice).

Portanto, os comandos .TRAN e .FOUR devem ser usados. Normalmente, uma análise transiente é realizada para um período completo da frequência fundamental. Neste exemplo f=1 kHz; Consequentemente, T=1/f=1 ms. A análise harmônica reflete os componentes de frequência até o nono harmônico. Para a maioria dos propósitos, isso deve ser mais que suficiente. Se harmônicos mais altos forem mostrados, eles não terão muita importância devido ao acúmulo de erro de arredondamento nos resultados.

Para dar uma descrição mais detalhada da tensão de entrada V BX, use o formulário pecado para descrever a fonte. Parâmetros sin( uma, b,Com,…) significa: uma- componente constante, b- valor máximo, Com- frequência, d- atraso, e- coeficiente de atenuação e f- Estágio.

Quando incluído no arquivo de entrada, o comando .FOUR produz uma análise harmônica que produz uma expansão de Fourier dos resultados da análise transiente. Os parâmetros para este comando incluem a frequência fundamental e as variáveis ​​para as quais a expansão será obtida. Neste exemplo, essas variáveis ​​serão funções periódicas das tensões de entrada V(1) e saída V(2). Arquivo de entrada:

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumentos para deslocamento, máximo e frequência

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; últimos 3 valores para k0, k1, k2

Faça a análise e obtenha os gráficos V(1) e (V)2. Certifique-se de que V(1) seja uma cópia exata da tensão de entrada V VX. A tensão de saída deve apresentar uma componente CC e uma onda complexa com no máximo 3 V. A partir de um estudo teórico da série de Fourier, pode-se concluir que este gráfico se assemelha a uma onda periódica composta pelos harmônicos fundamental e segundo. É aconselhável imprimir uma cópia deste gráfico para estudo futuro. Na fig. 7.2 mostra esses gráficos.

Arroz. 7.2. Gráficos de estresse v 1 e v 2 para o circuito da fig. 7.1

Considere também o arquivo de saída para este circuito (Figura 7.3), que mostra os seguintes valores para as tensões dos nós: V(1)=0 V e V(2)=1 V. Isso significa que embora o sinal de entrada não tenha offset, a saída da tensão tem um offset V(2)=1V.

Na fig. 7.3 na tabela de componentes da série de Fourier para V(1), nem todos os componentes têm valores reais. Assim, o valor da componente constante deveria teoricamente ser igual a zero, mas a análise dá um valor muito pequeno de 3,5E-10, que não é exatamente igual a zero devido ao acúmulo de erros de arredondamento.

Análise de Fourier; Decomposição de polinômios

Vin 1 0 sin(0 1 1000); os argumentos são deslocamento, pico e frequência

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; últimos 3 1s são para k0, k1, k2

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

FREQUÊNCIA HARMÔNICA QUATRO FASE NORMALIZADA NORMALIZADA

NO (HZ) COMPONENTE COMPONENTE (DEG) FASE (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 -2.888E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 5.000E-01 5.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 7.971E-08 7.971E-08 -1.546E+02 -1.546E+02

4 4.000E+03 5.126E-08 5.126E-08 -1.439E+02 -1.439E+02

5 5.000E+03 3.918E-08 3.918E-08 -1.420E+02 -1.420E+02

6 6.000E+03 3.327E-08 3.327E-08 -1.299E+02 -1.299E+02

7 7.000E+03 3.606E-08 3.606E-08 -1.268E+02 -1.268E+02

8 8.000E+03 2.889E-08 2.859E-08 -1.316E+02 -1.316E+02

9 9.000E+03 2.584E-08 2.584E-08 -1.189E+02 -1.189E+02

DISTORÇÃO HARMÔNICA TOTAL = 4,999939E+01 POR CENTO

Arroz. 7.3. O arquivo de saída com os resultados da análise do circuito na fig. 7.1

O primeiro harmônico é o harmônico fundamental em f=1kHz. A amplitude do primeiro harmônico da série de Fourier e sua fase 2,4Е-7 (também quase zero) são mostradas. Se assumirmos que este componente é expresso pela fórmula

b n pecado( nx),

então isso significa que b 1 =1, n=1, onde o índice 1 corresponde à frequência fundamental. Outros harmônicos podem ser ignorados, pois suas amplitudes são muitas ordens de magnitude menores que o harmônico fundamental. É o harmônico fundamental que se reflete no gráfico V(1) em Probe, obtido a partir dos dados da Fig. 7.3.

Outra tabela de componentes de Fourier na fig. 7.3 refere-se a V(2). Ao observar os vários harmônicos, observe que há um componente de 1,5 V CC. Por que 1,5 V? Componente k 0 = 1 V fornece apenas uma parte desse valor, os 0,5 V restantes estão associados ao segundo harmônico. A teoria mostra que com distorção harmônica no segundo harmônico na tensão de saída, além do próprio segundo harmônico com amplitude b 2, uma componente constante associada a distorções no segundo harmônico aparece com o valor b 0 =b 2. A amplitude da frequência fundamental na expansão é b 1 \u003d 1 V, amplitude do segundo harmônico b 2 =0,5 V, seu ângulo de fase é -90°. Harmônicos mais altos são muito menores e podem ser ignorados.

Como um exercício de síntese harmônica, você pode desenhar os harmônicos individuais e somá-los para prever o resultado obtido em Probe for V(2). Lembre-se de levar em consideração o componente CC e as amplitudes e fases correspondentes para os harmônicos fundamental e segundo. Depois de desenhar a forma de onda resultante, você sem dúvida ficará satisfeito em saber que o PSpice pode fazer o trabalho tedioso para você.

Vamos criar um novo arquivo de entrada correspondente à Fig. 7.4, no qual o diagrama da Fig. 7.1, mais duas fontes de corrente independentes são adicionadas.

Usamos duas fontes apenas para que você possa obter os harmônicos fundamental e segundo no mesmo gráfico com a tensão de saída. Fontes adicionais alimentam um resistor de 1 ohm conectado em paralelo. Essa mudança no esquema original não é necessária, acabou sendo conveniente com um determinado conjunto de parâmetros. O novo arquivo de entrada é uma extensão do arquivo anterior e se parece com isso:

Análise de Fourier; Decomposição de polinômios

Vin 1 0 sin(0 1 1000); argumentos - deslocamento, amplitude e frequência

E 2 0 poli(1) 1,0 1 1 1; últimos 3 registros para k0, k1, k2

i2 0 3 sin(0,5 0,5 2000 0 0 -90)

Arroz. 7.4. Esquema para analisar a adição de harmônicos e expansão em uma série de Fourier

Antes de realizar a análise, vamos dar uma olhada nas descrições para eu 1 e eu 2. Para síntese harmônica, são usados ​​os resultados da expansão em série de Fourier do problema anterior. Certifique-se de entender o significado de todos os parâmetros; em seguida, execute a análise no Probe para obter os gráficos I(i1), I(i2) e I(r). Embora sejam correntes, são numericamente iguais às tensões, pois passam por uma resistência de 1 ohm. Na fig. 7.5 apresenta os resultados. Agora você pode estabelecer que o primeiro gráfico é o harmônico fundamental, o segundo é o segundo harmônico e o terceiro é o resultado da adição deles em um resistor r. Claro, você pode obter um gráfico de V(3) em vez de I(r). Ao mesmo tempo, o eixo S serão rotulados em unidades de tensão, não de corrente. Verifique se a soma das duas primeiras curvas dá a terceira curva em diferentes pontos no tempo. Para tornar o gráfico mais compacto, usamos um offset de 1V para a fundamental e 0,5V para o 2º harmônico. Na verdade, o harmônico fundamental tem deslocamento zero.

Arroz. 7.5. Os harmônicos fundamental e segundo e o resultado de sua adição

Quando a área de operação do amplificador ultrapassa a parte linear da característica, isso leva a alguma distorção. A primeira aproximação da curva de saída real é obtida pela inclusão do segundo harmônico no modelo, mostrando que a função de transição conectando eu c e eu b(corrente de coletor e base) é um tipo de parábola. Normalmente, a distorção é muito menor do que a assumida em nosso primeiro exemplo introdutório, que foi mostrado na Fig. 7.1. Um polinômio mais preciso é dado pela fórmula

f(x) = 0,1 + x + 0,2x².

Basta transformar o arquivo de entrada original para refletir essa situação. Comando de entrada para fonte dependente E terá a forma:

E 2 0 poli(1) 1,0 0,1 1 0,2; últimos três valores para k0, k1, k2

e todo o arquivo de entrada será:

Execute a análise e obtenha gráficos V(1) e V(2) no Probe. Você verá que ambas as ondas se parecem com ondas senoidais reais. Para uma comparação mais precisa, remova o gráfico V(2) e obtenha um gráfico V(2)–0,1. Isso aproximará as duas curvas. Ao comparar ondas, lembre-se de que V(1) é apenas uma onda senoidal e V(2) é uma combinação de harmônicos fundamentais e segundos. Neste exemplo, o segundo harmônico é muito menor em amplitude do que no anterior. Você pode imprimir os resultados do estudo mostrado na fig. 7.6.

Arroz. 7.6. Os harmônicos fundamental e segundo e o resultado de sua adição

Após sair do programa Probe, considere o arquivo de saída para este caso. A tensão de entrada V(1) é exatamente a mesma do exemplo anterior, mas V(2) é obviamente diferente. Observe que o componente CC da tensão de saída é de 0,2 V e o segundo harmônico em f=2 kHz tem uma amplitude de 0,1 V e um ângulo de fase de -90°. Outros harmônicos são muito menores e podem ser desprezados. Por fim, determine a distorção harmônica total, que é muito próxima de 10%, como esperado. A distorção do segundo harmônico é definida como b 1 /b 2 onde b 1 e b 2 - coeficientes no segundo harmônico e fundamental, respectivamente. Estes dados são mostrados na fig. 7.7.

Análise de Fourier; Segundo Distorção Harmônica, Amplificador de Potência

TENSÃO DE NÓ TENSÃO DE NÓ TENSÃO DE NÓ TENSÃO DE NÓ

QUATRO COMPONENTES DA RESPOSTA TRANSITÓRIA V(1)

FREQUÊNCIA HARMÔNICA QUATRO FASE NORMALIZADA NORMALIZADA

NO (HZ) COMPONENTE COMPONENTE (DEG) FASE (DEG)

1 1.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 1.115E-06 0.000E+00

2 2.000E+03 1.994E-08 1.994E-08 -9.308E+01 -9.308E+01

3 3.000E+03 7.381E-09 7.381E-09 -9.083E+01 -9.083E+01

4 4.000E+03 4.388E-09 4.388E-09 -8.993E+01 -8.993E+01

5 5.000E+03 3.134E-09 3.134E-09 -9.107E+01 -9.107E+01

6 6.000E+03 1.525E-09 1.525E-09 -6.706E+01 -6.706E+01

7 7.000E+03 1.511E-09 1.511E-09 -1.392E+02 -1.392E+02

8 8.000E+03 1.237E-09 1.237E-09 -3.990E+01 -3.990E+01

9 9.000E+03 7.642E-10 7.642E-10 3.320E+01 3.320E+01

DISTORÇÃO HARMÔNICA TOTAL = 2,208405E-06 POR CENTO

QUATRO COMPONENTES DA RESPOSTA TRANSITÓRIA V(2)

FREQUÊNCIA HARMÔNICA QUATRO FASE NORMALIZADA NORMALIZADA

NO (HZ) COMPONENTE COMPONENTE (DEG) FASE (DEG)

1 3.000E+03 1.000E+00 1.000E+00 7.683E-07 0.000E+00

2 2.000E+03 1.000E-01 1.000E-01 -9.000E+01 -9.000E+01

3 3.000E+03 1.756E-08 1.756E-08 -1.336E+02 -1.336E+02

4 4.000E+03 1.430E-08 1.430E-08 -1.348E+02 -1.348E+02

5 5.000E+03 9.547E-09 9.547E-09 -1.365E+02 -1.365E+02

6 6.000E+03 8.100E-09 8.100E-09 -1.232E+02 -1.232E+02

7 7.000E+03 6.463E-09 6.463E-09 -1.342E+02 -1.342E+02

8 8.000E+03 5.743E-09 5.743E-09 -9.544E+01 -9.544E+01

9 9.000E+03 6.931E-09 6.931E-09 -1.092E+02 -1.092E+02

DISTORÇÃO HARMÔNICA TOTAL = 9,999880E+00 POR CENTO

Arroz. 7.7. Os resultados da análise de distorção de segundo harmônico em amplificadores

Usamos um circuito simples (fig. 7.8) para mostrar como duas ondas senoidais são combinadas em um dispositivo não linear usando frequências bastante próximas uma da outra, a saber f 1 = 1 kHz e f 2 = 1,5 kHz. A mixagem não linear ocorre na fonte dependente do tipo e VCVS (INUN). O polinômio que descreve a relação tem mais termos do que no exemplo anterior:

f(x) = 1 + x + X² + x³.

Arroz. 7.8. Circuito para demonstração de distorção de intermodulação

As correntes, somadas, criam em R= 1 Ω tensão V(1), numericamente igual à corrente em R. Assim, a tensão de entrada V(1) pode ser pensada como a tensão em um misturador não linear. Como as ondas senoidais têm frequências diferentes, sua soma é uma oscilação periódica complexa com uma frequência diferente da frequência dos componentes originais (frequência de batimento). Arquivo de entrada:

Execute a simulação e entre no Probe V(1). Selecione Plot, X-Axis Settings…, User Defined e defina o intervalo de 0 a 10 ms para obter uma tensão de entrada constante. Este gráfico é mostrado na Fig. 7.9. Para confirmar que é realmente a soma dos harmônicos de 1 e 1,5 kHz, selecionamos Trace, Fourier, passando do domínio do tempo para o domínio da frequência. Vamos mudar as bordas ao longo do eixo X definindo a faixa de frequência de 4 a 12 kHz. Certifique-se de que os parâmetros do eixo correspondem às frequências desejadas e amplitudes esperadas. Na verdade, quando f\u003d 1 kHz, a tensão é de 0,991 V, e em f=1,5kHz é 0,979 V. Tenha em mente que há algum erro de acumulação com esta síntese. Na fig. 7.10 mostra a resposta de frequência correspondente.

Arroz. 7.9. Tensão de saída na distorção de intermodulação

Arroz. 7.10. Composição espectral da tensão de entrada

Em seguida, selecione Trace, End Fourier para retornar ao domínio do tempo, exclua o gráfico V(1) e obtenha a tensão de saída do mixer V(2). Lembre-se que o mixer é um INUN com uma conexão polinomial dada pela função f(X). A dependência do tempo é um gráfico semelhante ao gráfico V(1), mas um olhar mais atento revela que as formas de tensão são significativamente diferentes. Algumas pistas podem ser obtidas a partir do conteúdo harmônico dessa forma de onda complexa, portanto, será necessário voltar ao domínio da frequência selecionando uma faixa ao longo do eixo X de 0 a 5 kHz. Recomendamos imprimir o espectro de frequência para estudo posterior. A análise teórica dos componentes de modulação de frequência permite prever e verificar os resultados da análise no PSpice. Observe que há um componente de 2 V CC junto com componentes significativos na faixa de 0,5 a 4,5 kHz (consulte a Figura 7.11 para o espectro de frequência).

Arroz. 7.11. Composição espectral da tensão de saída

O caso mais simples para análise teórica é o caso de um efeito harmônico em um circuito composto por componentes lineares, como resistores, capacitores e indutores, e, como você sabe, a resposta é uma oscilação harmônica na mesma frequência do sinal de entrada. Diferentes quedas de tensão no circuito também são oscilações harmônicas com a mesma frequência, diferindo apenas em amplitude e fase. Vamos usar um diagrama simples para ilustrar algumas dessas propriedades. Na fig. 7.12 mostra três fontes de tensão alimentando um circuito contendo resistores R= 1 ohm e R 1 =R 2 \u003d 0,001 Ohm. Os dois últimos resistores são necessários para tornar as fontes de tensão não ideais. Usando este diagrama, podemos mostrar a adição de ondas senoidais no Probe. Arquivo de entrada:

Adição de ondas senoidais da mesma frequência

*A ordem dos parâmetros em uma expressão complexa para harmônicos

*componentes: deslocamento, amplitude, frequência, atraso, atenuação, fase

v2 2 0 sin(0 1 1kHz 0 0 45); fase = 45 graus

v3 3 0 sin(0 1 1kHz 0 0 90); fase = 90 graus

Arroz. 7.12. Esquema para adicionar sinais harmônicos de uma frequência

Execute a simulação e os gráficos de teste v(1), v(2) e v=v(1)+v(2). Os gráficos resultantes mostram a tensão v 2 com atraso máximo de aproximadamente 45° em relação ao máximo v 1, e a tensão total v 1 +v 2 com um máximo localizado entre seus valores máximos. Certifique-se de que o máximo v 1 = 1 V atingido a 251 µs (90°), máximo v 2 \u003d 1 V - no momento de 131 μs (47,16 °) e máximo v 1 +v 2 \u003d 1,8381 V - no momento de 171 μs (61,56 °). Exclua esses gráficos e obtenha dependências de tempo para outras combinações de tensões, por exemplo, para v(1), v(3) e v(1)+v(3). Com base em sua capacidade de adicionar vetores de tensão, tente prever o valor da amplitude para a soma das tensões antes de obter os gráficos de sonda mostrados na Figura 2. 7.13.

Arroz. 7.13. O resultado da adição de sinais harmônicos de mesma frequência

No arquivo de entrada correspondente ao esquema da Fig. 7.12, você pode facilmente variar os parâmetros e a composição das fontes de alimentação. Vamos excluir v 3 e dobrar a frequência de tensão v 2 para se tornar a segunda frequência harmônica para v 1 . É claro que a oscilação resultante se tornará imediatamente não senoidal. De fato, sua forma dependerá da razão dos ângulos de fase v 1 e v 2. Deixe ambos os harmônicos atingirem seu máximo simultaneamente no exemplo considerado. Arquivo de entrada para este caso:

Adicionando Ondas Senoidais; Pico fundamental e 2º harmônico juntos

Execute a simulação e plote v(1), v(2) e v=v(1)+v(2) no Probe. Porque o v 1 e v 2 ao mesmo tempo, o máximo de oscilação resultante é de 2 V, mas quando a fundamental atinge um máximo negativo, o segundo harmônico retorna a um máximo positivo e sua soma vai para zero. É claro que a flutuação total ( v 1 +v 2) não senoidal. Esses gráficos são mostrados na fig. 7.14.

Arroz. 7.14. O resultado da adição do primeiro e segundo harmônicos

Um gráfico interessante de uma forma de onda modulada em amplitude pode ser obtido no PSpice usando a função de multiplicação de oscilações harmônicas com frequências significativamente diferentes. Na fig. 7.15 mostra um circuito simulando tal dispositivo. A primeira fonte harmônica é v 1 com uma frequência de 1 kHz. segunda origem v 2 tem uma frequência de 20 kHz. A multiplicação é realizada na fonte dependente e, que é o INUN (VCVS). Resistores são necessários para evitar potenciais flutuantes. Arquivo de entrada:

e 3 0 poli(2) 1,0 2,0 0 0 0 0 1

Arroz. 7.15. Multiplicador para modulação de onda senoidal

As últimas cinco entradas no comando de entrada de fonte polinomial são: 0 0 0 0 1. Lembre-se de que esses são os valores dos coeficientes nos termos k 0 , k 1 v 1 , k 2 v 2 , k 3 v 12 e k 4 v 1 v 2. Todos os valores são 0, exceto k 4, que é igual a 1.

Execute a simulação e obtenha gráficos v(1) e v(3) no Probe. A componente harmônica com frequência de 20 kHz não é deliberadamente construída no gráfico geral, para não complicar o entendimento dos processos. A oscilação resultante v(3) tem a forma clássica de uma oscilação modulada em amplitude. Neste exemplo, ambos os harmônicos de entrada v 1 e v 2 têm uma amplitude de 1 V. Os gráficos são mostrados na fig. 7.16.

Arroz. 7.16. O resultado do estudo de sinais modulados em amplitude

Ainda na sonda, adicione outra tensão de entrada v(2) plotada para mostrar todas as tensões: v(1), v(2) e v(3). Agora este gráfico contém, junto com as outras duas ondas, a portadora, dando a imagem completa. Obtenha uma impressão para um estudo mais aprofundado, apague o gráfico v(2) e selecione Trace, Fourier. Instale ao longo do eixo X limites de faixa de 0 a 30 kHz. O domínio da frequência agora exibe componentes de 1,19 kHz e 21 kHz. Os últimos componentes são as frequências laterais superiores e inferiores resultantes desta modulação. Determine a amplitude de cada uma dessas ondas. Lembre-se da identidade trigonométrica,

(pecado uma)(pecado b) = 0.5,

o que explica as amplitudes de 0,5 V para as frequências de banda lateral. Consulte a fig. 7.17, que mostra o espectro de frequência. (Os marcadores foram removidos para uma imagem mais clara.) Analise com diferentes amplitudes relativas para a tensão de modulação v 1 para ver o efeito que isso tem na profundidade da modulação t. Por exemplo, quando v 1 tem uma amplitude de 0,8, qual é a profundidade de modulação e como é a oscilação resultante?

Arroz. 7.17. Espectro de frequência de uma oscilação modulada em amplitude

.QUATRO <частота>*<выходные переменные>

Por exemplo, a entrada

mostra que uma expansão de Fourier está sendo realizada. A decomposição só pode ser realizada após obter a dependência do tempo para o estado estacionário obtido a partir da análise transiente. Tal comando deve estar presente no arquivo de entrada:

TRAN <шаг><момент окончания>

A análise harmônica fornece a componente CC da fundamental e todas as harmônicas até a nona, inclusive. Suas amplitudes e fases são mostradas com valores reais e relativos. No exemplo anterior, V(1) e V(2) e seus componentes foram analisados. Normalmente, para realizar a análise harmônica, o comando é utilizado .SONDA: no entanto, os comandos também podem ser usados ​​em vez .IMPRIMIR ou .ENREDO.

7.1. Na fig. 7.18 o polinômio para E tem a forma

f(x) = X + X².

Arroz. 7,18

Usando v eu pico=1V, f=1 kHz e V= 1 Comparar v 0 segundos eu. Preveja o conteúdo harmônico aproximado da tensão de saída; em seguida, faça uma análise no PSpice que mostrará o conteúdo harmônico das tensões de entrada e saída. No comando .FOUR, use as tensões V(2, 1) e V(3). Examine o arquivo de saída e determine o conteúdo harmônico de V(3).

7.2. No Problema 7.1, use Trace, Fourier para obter o conteúdo harmônico de V(3). Exibindo V(2,1) e V(3), defina o eixo X limites de 0 a 5 kHz.

7.3. Realize a análise para o problema 7.1 com

f(x) = 2 + 0,1x².

Preveja o conteúdo harmônico aproximado da tensão de saída; em seguida, plote V(2,1) e V(3) para verificar a precisão de suas previsões.

7.4. Na fig. 7.4 mostra uma fonte polinomial E. Ela foi dada como

f(X) = 1 + X + X².

Altere o polinômio para

f(X) = X + X²,

e realizar síntese e decomposição alterando eu 1 e eu 2 de modo que a corrente I(r) siga a forma da tensão V(2).

7.5. Na seção "Distorção do segundo harmônico em amplificadores" deste capítulo, substitua o polinômio pelo seguinte:

f(X) = 0,05 + X + 0,1X²,

e execute a análise no PSpice conforme sugerido no texto. Obtenha um gráfico de V(1) e (V)2-0,05 para comparar as tensões variáveis ​​de entrada e saída. Preveja os valores do componente DC da tensão de saída, amplitude e fase do segundo harmônico e distorção harmônica total. Teste suas previsões em relação aos resultados do Probe e do arquivo de saída.

7.6. Na seção Intermodulation Distortion, combinamos duas ondas senoidais de diferentes frequências. Realizar análises em frequências f 1 = 2 kHz e f 2 = 2,5 kHz, deixando a expressão para f(X) sem alteração. Modifique o comando .TRAN de acordo com a tarefa. Siga as etapas na mesma ordem do exemplo de texto para testar suas previsões sobre o conteúdo harmônico da tensão de saída.

7.7. Na seção "Adição de harmônicos" na fig. 7.12 mostra ramos paralelos com três fontes de tensão. A adição de harmônicos foi mais matemática do que física. Altere o circuito para que todas as fontes de tensão sejam conectadas em série e, em seguida, execute a análise novamente. Você obteve os mesmos resultados?

7.8. Execute a análise para adicionar as seguintes tensões harmônicas de frequência única f=1 kHz:

v 1 = 0,5∠0°V, v 2 = 1∠45°V e v 23 = 1,5∠90° V.

Em que:

a) Encontre o valor máximo ( v 1 +v 2), bem como o tempo e o ângulo de fase em que o máximo é atingido.

b) Repita o passo a) para ( v 1 +v 3).

Ao usar o modo de cursor e vários gráficos na mesma tela, use o botão [ ctrl] e as setas ← e → para selecionar em qual dos gráficos o cursor deve mover-se.

7.9. Para ilustrar o efeito de adicionar harmônicos com frequências próximas, execute a análise como no Problema 7.8 para o seguinte conjunto de parâmetros: v 1 = 1∠0° V, f 1 = 1 kHz, v 1 = 1∠0° V, f 2 \u003d 1,2 kHz, v 1 = 1∠0° V e f 3 = 1,4 kHz:

a) Obtenha os gráficos v 1 , v 2 e ( v 1 +v 2). Encontre o valor máximo ( v 1 +v 2).

b) Obter gráficos v 1 , v 3 e ( v 1 +v 3). Encontre o valor máximo ( v 1 +v 3).

7.10. Resolva o problema da seção sobre modulação de amplitude definindo v 1 = 1 V a 1 kHz, e mudando v 1 para que a profundidade de modulação seja 0,5. Execute a análise no PSpice para mostrar seus resultados.