Специальные модели линейного программирования. Микроэкономические модели линейного программирования. Пример разработки модели линейного программирования для производства двух изделий

Рассмотренные выше модели можно отнести к разряду статических моделей линейного программирования, поскольку в них временной интервал был фиксирован. Если возникает необходимость найти решение для другого временного интервала, то нужно заново вводить данные в модель и производить новую оптимизацию. Иначе говоря, в подходе, рассмотренном выше, предполагалось, что все временные интервалы являются независимыми и для каждого временного интервала должна решаться своя задача оптимизации.
В динамических моделях рассматривается поведение системы на нескольких временных интервалах, а поиск решения производится один раз, оптимизируя поведение модели на всех временных интервалах сразу.
Динамические модели являются более реалистическими и более адекватно описывают многие производственные ситуации. Зависимость принятия решения от поведения системы во времени делает динамические модели исключительно полезным методом экономического анализа, но они оказываются значительно сложнее статических по своей постановке, содержат, как правило, большое число переменных, требуют определенного навыка при составлении табличной модели.
В качестве примера рассмотрим практически значимую модель управления производственными запасами (другое название этой модели – многофазовые модели управления запасами ). Для общности результатов мы не будем присваивать параметрам числовые значения. После построения модели можно будет задать явные значения параметров и получить численное решение.

Пример 3.10
Рассмотрим химическую фирму, производящую полиуретан. Производитель имеет заказы на поставку полиуретана в количестве d i тонн в месяц на ближайшие четыре месяца (i=1,2,…,4). Пусть затраты на производство одной тонны полиуретана составляют C i тыс. рублей, а максимальный объем производства полиуретана по месяцам ограничен и равен K i тонн в месяц. Производственная фирма имеет возможность хранить продукцию на складе, причем стоимость хранения одной тонны продукции за месяц составляет n i тыс. рублей. На начальный период времени запас полиуретана на складе составлял L 0 тонн. Менеджеру компании требуется составить план производства полиуретана по месяцам, который бы обеспечил выполнение заказов при минимальной стоимости производства и хранения продукта.
Решение
Заметим, что если бы не было возможности хранить продукцию на складе, то задача разбилась бы на четыре независимые статические задачи и потеряла бы для нас всякий смысл.
Составим уравнение материального баланса, позволяющего вычислить количество продукции, хранящееся на складе в течение i-го месяца. Пусть x i – количество полиуретана, произведенного в i-й временной период. Тогда в течение первого месяца товарный запас на складе будет равен L 1 =L 0 +x 1 -d 1 . Товарный запас второго месяца

. (3.24)
После того как мы вывели уравнение (3.24), описывающее поведение товарных запасов, легко записать математическую модель задачи:

(3.25)
Поставленная задача (3.25) является типичной задачей линейного программирования и может быть достаточно легко решена с помощью программы Поиск решения. Используя численные значения удельных затрат производства

Табличная модель задачи управления запасами
Табличная модель задачи после нахождения оптимального решения приведена на рис. 21.

Рис. 21. Табличная модель задачи динамического программирования

Рис. 22. Отчет по устойчивости для динамической модели

Экстремальные задачи

Функция f(x) называется целевой функцией , а Х - множеством допустимых решений . Оптимальным решением задач называется пара (x*,f(x*)) , где x* - точка максимума (минимума), а f(x*) , - значение функции f в этой точке, то есть ее максимальное (минимальное) значение на множестве Х .
Решить задачи это значит: либо найти оптимальное решение; либо убедиться, что оптимальное решение не существует.
Решение задачи требует разрешения трех проблем: 1) проблему существования оптимального решения; 2) проблему установления необходимых и достаточных признаков оптимальности (то есть характерных свойств, присущих точкам максимума и минимума); 3) проблему численного вычисления оптимальных решений.

Пример №1 . Построить математическую модель следующей задачи экономической деятельности. Для этого:

1. Выявить проблему и сформулировать цель исследования.
2. Провести описание переменных экономического процесса или объекта.
3. Записать математическую формулировку функции цели.
4. Сформулировать ограничения накладываемые условиями задачи и записать систему ограничений.
5. Предложить метод решения.

Перед проектировщиками автомобиля поставлена задача сконструировать самый дешевый кузов, используя листовой материал, стекло и пластмассу. Основные характеристики материалов представлены в таблице.

Общая поверхность кузова (вместе с дверьми и окнами) должна составлять 14 м 2: из них не менее 3,5 м 2 и не более 5 м 2 следует отвести под стекло. Масса кузова не должна превышать 150 кг, а масса пластмассы не должна превышать 20% от массы кузова. Металлическая составляющая поверхности кузова должна превышать стеклянную поверхность не менее, чем в два раза. Сколько металла, стекла и пластмассы должен использовать наилучший проект.

Проблема заключается в ограниченных ресурсах для получения оптимального результата.

Описание переменных.
x 1 - количество металла, м 2
x 2 - количество стекла, м 2
x 3 - количество пластмассы, м 2

Функция цели.

Ограничения:

• Общая поверхность кузова
  x 1 + x 2 + x 3 ≥ 14
• Требования по стеклу
  x 2 ≥ 3,5
  x 2 ≤ 5
• Ограничения по массе
  10x 1 + 15x 2 + 3x 3 ≤ 150
• Требования по массе пластмассы
  3x 3 ≤ (10x 1 + 15x 2 + 3x 3)*20%
• Ограничения по поверхности
  x 1 ≥ 2x 2

Система ограничений.
x 1 + x 2 + x 3 ≥ 14
10x 1 + 15x 2 + 3x 3 ≤ 150
2x 1 + 3x 2 - 2,4x 3 ≥ 0
x 1 - 2x 2 ≥ 0
x 2 ≥ 3,5
x 2 ≤ 5
x 1 , x 2 , x 2 ≥ 0
F(x) = 25x 1 + 20x 2 + 40x 3 → min

Пример №2 . На фабрике производится ткань двух артикулов. Каждая из этих тканей проходит последовательную обработку на станках их трех типов. Ниже указаны: производительность станка каждого типа при изготовлении тканей артикулов 1 и 2; суммарные мощности станочного парка фабрики в расчете на одну рабочую неделю; трудовые затраты по обслуживанию станков в минутах рабочего времени на 1 час работы станка; цена метра ткани каждого артикула. Известно также, что недельный ресурс трудозатрат на обслуживание станков равен 14800 ч.

Требуется составить недельный план выпуска тканей с целью максимизации прибыли изготовленной продукции, если 1 час оплачивается в размере 5400 рублей, а 1 час простоя станка 1-го типа составляет 1800 рублей, 2-го типа составляет 2000 рублей, 3-го типа составляет 1400 рублей. Стоимость сырья в расчет не принимать. При решении задачи следует учесть, что выпуск ткани артикула 1 должен не мене чем в 2 раза превышать выпуск ткани артикула 2.

Описание переменных.
x 1 - выпуск тканей артикула 1, м
x 2 - выпуск тканей артикула 2, м

y 1 - время работы 1-го станка, час.
y 2 - время работы 2-го станка, час.
y 3 - время работы 3-го станка, час.

y 1 =x 1 /20 + x 2 /15
y 2 =x 1 /12 + x 2 /6
y 3 =x 1 /6 + x 2 /4
x 1, x 2 , y 1 , y 2 , y 3 ≥ 0

Ограничения:

• по структуре выпуска
  x 1 ≥ 2x 2
• по трудозатратам
  10/60y 1 + 6/60y 2 +6/60y 3 ≤ 14800
  или
  1/6y 1 + 1/10y 2 +1/10y 3 ≤ 14800
• по имеющимся мощностям:
  y 1 ≤ 22000
  y 2 ≤ 40000
  y 3 ≤ 75000

Функция цели.
Прибыль = Выручка - Затраты = Цена*Количество - Затраты на простой станков - Трудозатраты
Выручка = 18x 1 + 25x 2
Затраты на простой станков =1,8y 1 + 2y 1 + 1,4y 3
Трудозатраты = 5,4(1/6y 1 + 1/10y 2 +1/10y 3)

F(x) = 18x 1 + 25x 2 - 1,8y 1 - 2y 2 - 1,4y 3 - 5,4(1/6y 1 + 1/10y 2 +1/10y 3)→ max
или
F(x) = 1/50 (900x 1 +1250x 2 -135y 1 -127y 2 -97y 3) → max

С учетом
y 1 =x 1 /20 + x 2 /15
y 2 =x 1 /12 + x 2 /6
y 3 =x 1 /6 + x 2 /4

имеем:

Система ограничений.
x 1 ≥ 2x 2
1/6(x 1 /20 + x 2 /15) + 1/10(x 1 /12 + x 2 /6) +1/10(x 1 /6 + x 2 /4) ≤ 14800
x 1 /20 + x 2 /15≤ 22000
x 1 /12 + x 2 /6 ≤ 40000
x 1 /6 + x 2 /4 ≤ 75000

x 1 ≥ 2x 2
x 1 /30+19x 2 /360 ≤ 14800
x 1 /20 + x 2 /15≤ 22000
x 1 /12 + x 2 /6 ≤ 40000
x 1 /6 + x 2 /4 ≤ 75000

F(x) = 17.33x 1 +23.91x 2 → max

Пример №3 . На предприятии имеется два цеха. В первом цеху работают 50 рабочих, из них 20 имеют 6 разряд и 30 - третий разряд. Во втором цеху, из 100 рабочих 50 имеют 6 разряд и остальные - третий. Требуется выполнить заказ на изготовление 2 типов деталей. На изготовление одной детали первого типа рабочий 6 разряда тратит 10 мин., а рабочий 3 разряда - 15 мин. На изготовление одной детали второго типа рабочий 6 разряда тратит 25 мин., а рабочий третьего - 30 мин.
13) составить план выпуска продукции для каждого из цехов на неделю, исходя из стандартной продолжительности рабочей недели, максимизирующий общий объем выпуска продукции с учетом того, что потребность в детали второго типа в два раза меньше потребности в деталях первого типа.
14) Определить план выпуска продукции для каждого из цехов на неделю, исходя из стандартной продолжительности рабочей недели, максимизируя прибыль, с учетом того, что рабочий 6 разряда получает 300 руб./мес., а рабочий 3 разряда - 200 руб./мес., притом, что цена реализации детали 1 типа равна 20 руб./шт, а второго типа - 34 руб./шт.

Решение.
x 11 - количество деталей 1 типа, изготовленные рабочими 6 разряда за неделю,
x 12 - количество деталей 2 типа, изготовленные рабочими 6 разряда за неделю,
x 21 - количество деталей 1 типа, изготовленные рабочими 3 разряда за неделю,
x 22 - количество деталей 2 типа, изготовленные рабочими 3 разряда за неделю,

13) Целевая функция
20x 11 + 50x 21 + 30x 12 + 50x 22 = max

Ограничения:
2(x 12 +x 22) ≤ x 11 +x 21

14) Целевая функция: Прибыль = Доход - Затраты = Количество деталей * Цена реализации - ЗП работников
Затраты на заработную плату рабочим приведем к недельным, т.е разделим месячный заработок на 4.
F(x) = 20(20x 11 + 50x 21) + 23(30x 12 + 50x 22) - [(20+50)*300 + (30+50)*200]/4 = max

Ограничения:
2(x 12 +x 22) ≤ x 11 +x 21
10/60x 11 + 15/60x 21 + 25/60x 11 + 30/60x 21 ≤ N
N - недельный фонд времени в часах.

Модели линейного программирования

Многие задачи, с которыми приходится иметь дело в повседневной практике, являются многовариантными. К таким задачам относятся:

Задача об оптимальном использовании ограниченных ресурсов (сырьевых, трудовых, временных);

Задача сетевого планирования и управления;

Задачи массового обслуживания;

Задачи составления расписания (календарного планирования);

Задачи выбора маршрута и другие.

Среди множества возможных вариантов в условиях рыночных отношений приходится отыскивать наилучшие решения в некотором смысле при ограничениях, налагаемых на природные, экономические и технологические возможности. Такие решения называются оптимальными, а задачи и соответствующие им модели позволяющие найти эти решения - оптимизационными (оптимальными). Математическим аппаратом задач оптимального планирования является математическое программирование.

Математическое программирование - область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т. е. задач на экстремум функции многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.
Функцию, экстремальное значение которой нужно найти в условиях экономических возможностей, называют целевой, показателем эффективности или критерием оптимальности. Экономические возможности формализуются в виде системы ограничений. Все это составляет математическую модель. Математическая модель задачи - это отражение оригинала в виде функций, уравнений, неравенств, цифр и т. д. Модель задачи математического программирования включает:
1) совокупность неизвестных величин, действуя на которые, систему можно совершенствовать. Их называют планом задачи (вектором управления, решением, управлением, стратегией, поведением и др.);
2) целевую функцию (функцию цели, показатель эффективности, критерий оптимальности, функционал задачи и др.). Целевая функция позволяет выбирать наилучший вариант - из множества возможных. Наилучший вариант доставляет целевой функции экстремальное значение. Это может быть прибыль, объем выпуска или реализации, затраты производства, издержки обращения, уровень обслуживания или дефицитности, число комплектов, отходы и т. д.;
Эти условия следуют из ограниченности ресурсов, которыми располагает общество в любой момент времени, из необходимости удовлетворения насущных потребностей, из условий производственных и технологических процессов. Ограниченными являются не только материальные, финансовые и трудовые ресурсы. Таковыми могут быть возможности технического, технологического и вообще научного потенциала. Нередко потребности превышают возможности их удовлетворения. Математически ограничения выражаются в виде уравнений и неравенств. Их совокупность образует область допустимых решений (область экономических возможностей). План, удовлетворяющий системе ограничений задачи, называется допустимым . Допустимый план, доставляющий функции цели экстремальное значение, называется оптимальным. Оптимальное решение, вообще говоря, не обязательно единственно, возможны случаи, когда оно не существует, имеется конечное или бесчисленное множество оптимальных решений.
Оптимизационная задача, в которой целевая функция и неравенства (уравнения), входящие в систему ограничений являются линейными функциями, называется задачей линейного программирования, а соответствующая ей экономико-математическая модель – оптимизационной моделью линейного программирования

Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации процессов во всех отраслях народного хозяйства: при разработке производственной программы предприятия, распределении ее по исполнителям, при размещении заказов между исполнителями и по временным интервалам, при определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции, в задачах перспективного, текущего и оперативного планирования и управления; при планировании грузопотоков, определении плана товарооборота и его распределении; в задачах развития и размещения производительных сил, баз и складов систем обращения материальных ресурсов и т. д. Особенно широкое применение методы и модели линейного программирования получили при решении задач экономии ресурсов (выбор ресурсосберегающих технологий, составление смесей, раскрой материалов), производственно-транспортных и других задач.
Начало линейному программированию было положено в 1939 г. советским математиком-экономистом Л. В. Канторовичем в работе «Математические методы организации и планирования производства». Появление этой работы открыло новый этап в применении математики в экономике. Спустя десять лет американский математик Дж. Данциг разработал эффективный метод решения данного класса задач - симплекс-метод. Общая идея симплексного метода (метода последовательного улучшения плана) для решения ЗЛП состоит в следующем:
1) умение находить начальный опорный план;
2) наличие признака оптимальности опорного плана;
3) умение переходить к нехудшему опорному плану.

Математическое программирование ("планирование") – это раздел математики, занимающийся разработкой методов отыскания экстремальных значений функции, на аргументы которой наложены ограничения. Идея линейного программирования возникла в 1939г., когда была напечатана брошюра Леонида Витальевича Канторовича "Математические методы организации и планирования производства". Американский математик А. Данциг в 1947 году разработал весьма эффективный конкретный метод численного решения задач линейного программирования (он получил название симплекс метода ).

Дальнейшее изложение материала предполагает, что студенты изучали теорию линейного программирования в курсе математики. В связи с этим рекомендуется совмещать чтение этой главы с просмотром презентаций. Электронные версии презентаций размещены в папке «Линейное программирование». При этом часть материала предназначена для восстановления знаний, полученных в курсе математики, а часть для их расширения и углубления с акцентом на прикладные возможности теоретических моделей.

Теория линейного программирования

Общая постановка задачи

Идея линейного программирования представлена в формате презентаций, электронная версия которых размещена в файле «Идея - линейное программирование».

Геометрическая интерпретация и графический метод решения

Графически способ решения задач линейного программирования целесообразно использовать:

1. Для решения задач с двумя переменными, когда ограничения выражены неравенствами.

2. Решения задач со многими переменными при условии, что в их канонической записи содержится не более двух свободных переменных.

Геометрический метод решения задач линейного программирования представлен в формате презентации - файл «Геометрический метод ЛП»

2.2. Симплекс-метод, общая характеристика, критерий оптимальности допустимого базисного плана

Графический способ решения задачи линейного программирования показывает, что оптимальное решение этой задачи всегда ассоциируется с угловой точкой пространства решений (в математике она также называется крайней точкой множества ). Это является ключевой идеей при разработке общего алгебраического симплекс-метода для решения любой задачи линейного программирования.

Переход от геометрического способа решения задачи линейного программирования к симплекс-методу лежит через алгебраическое описание крайних точек пространства решений. Для реализации этого перехода сначала надо привести задачу линейного программирования к стандартной (канонической) форме:

· преобразовать неравенства ограничений в равенства путем введения дополнительных переменных;

· преобразовать свободные переменные в неотрицательные;

· преобразовать задачу максимизации в задачу минимизации.

Стандартная форма задачи линейного программирования необходима, потому что она позволяет получить базисное решение (используя систему уравнений, порожденную ограничениями). Это (алгебраическое) базисное решение полностью определяет все (геометрические) крайние точки пространства решений. Симплекс-метод позволяет эффективно найти оптимальное решение среди всех базисных.

Восстановить знания по решению задач симплекс-методом можно с помощью презентации «Симплекс метод».

Двойственные задачи

Любая задача линейного программирования имеет двойственную природу. Правило построения двойственной задачи:

Если исходная задача на max, то двойственная на min и наоборот.

В двойственной задаче столько переменных, сколько ограничений в исходной постановке. При этом переменные соответствуют ограничениям и наоборот.

Коэффициентами целевой функции двойственной задачи являются правые части ограничений исходной задачи.

Матрица коэффициентов ограничений двойственной задачи получается транспонированием матрицы коэффициентов ограничений исходной задачи.

Правыми частями ограничений двойственной задачи являются коэффициенты целевой функции исходной.

Ограничениям неравенствам исходной задачи соответствуют неотрицательные переменные двойственной задачи, а ограничениям равенствам – переменные любого знака и наоборот.

Теорема 1: Если исходная задача имеет оптимальный план x*, то двойственная задача также имеет оптимальный план y*, причем значения функций на этих планах равны: f(x*)=g(y*).

Теорема 2: Если исходная и двойственная задачи имеют планы, то они имеют и оптимальные планы, причем f(x*)=g(y*).

Признаки оптимальности для двойственных задач:

Признак 1: Если исходная и двойственная задачи имеют планы X и Y, причем f(X)=g(Y), то эти планы оптимальные.

Определение: Ограничения, расположенные на одной строке в схеме пары двойственных задач, называют сопряженными.

Признак 2: Для того, чтобы планы X и Y исходной и двойственной задач были оптимальны, необходимо и достаточно чтобы на этих планах хотя бы одно из каждой пары сопряженных ограничений являлось равенством.

Второй признак позволяет, зная оптимальный план одной из задач, найти оптимальный план другой задачи.

Основные положения двойственной задачи изложены в презентациях «Теория двойственности» и «Двойственная задача».

Транспортные задачи

Транспортная задача является одной из наиболее распространенных специальных задач линейного программирования. Первая строгая постановка транспортной задачи принадлежит Ф. Хичкоку, а первый точный метод решения разработан Л. В. Канторовичем и М. К. Гавуриным.

Под названием “транспортная задача” объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам линейного программирования и могут быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное решение.

Под термином "транспортные задачи" понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), по n потребителям этих ресурсов. Различают два типа транспортных задач: по критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию) и по критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).

Наиболее часто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:

· прикрепление потребителей ресурса к производителям;

· привязка пунктов отправления к пунктам назначения;

· взаимная привязка грузопотоков прямого и обратного направлений;

· отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного оборудования;

· оптимальное распределение объемов выпуска промышленной продукции между заводами-изготовителями и др.

Постановки задач транспортного типа, алгоритмы их решения и примеры практического использования представлены в трех презентациях:

1. «Обобщенная транспортная задача (λ-задача)».

2. «Закрытая транспортная задача. Метод потенциалов».

3. «Усложнённые постановки транспортной задачи».

Экономические приложения

Многообразие экономических приложений математического моделирования методами линейного программирования рассмотрим на примерах формулирования конкретных постановок прикладных задач (заимствовано из курса лекций Диязитдиновой А.П.).

Задача 1

Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять белков не менее 120 условных единиц (усл. ед.), жиров – не менее 70 и витаминов – не менее 10 усл. ед. Содержание их в каждой единице продуктов П 1 и П 2 равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1) усл. ед.

Стоимость 1 ед. продукта П 1 – 2 руб., П 2 –3 руб.

Постройте математическую модель задачи, позволяющую так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ.

Задача 2

Из пункта А в пункт В ежедневно отправляются пассажирские и скорые поезда. Данные об организации перевозок следующие:

Сколько должно быть сформировано скорых и пассажирских поездов, чтобы перевезти наибольшее количество пассажиров?

Задача 3

Четыре овощехранилища каждый день обеспечивают картофелем три магазина. Магазины подали заявки соответственно на 17, 12 и 32 тонны. Овощехранилища имеют соответственно 20, 20 ,15 и 25 тонн. Тарифы (в д.е. за 1 тонну) указаны в следующей таблице:

Задача 4

Имеются два склада готовой продукции: А 1 и А 2 с запасами однородного груза 200 и 300 тонн. Этот груз необходимо доставить трем потребителям В 1 , В 2 и В 3 в количестве 100, 150 и 250 тонн соответственно. Стоимость перевозки 1 тонны груза из склада А 1 потребителям В 1 , В 2 и В 3 равна 5, 3 ,6 д.е., а из склада А 2 тем же потребителям – 3, 4, 2 д.е. соответственно.

Составьте план перевозок, минимизирующий суммарные транспортные расходы.

Задача 5

При откорме каждое животное должно получить не менее 9 ед. белков, 8 ед. углеводов и 11 ед. протеина. Для составления рациона используют два вида корма, представленных в следующей таблице.

Стоимость 1 кг корма первого вида – 4 д.е., второго – 6 д.е.

Составьте дневной рацион питательности, имеющий минимальную стоимость.

Задача 6

Хозяйство располагает следующими ресурсами: площадь – 100 ед., труд – 120 ед., тяга – 80 ед. Хозяйство производит четыре вида продукции: П 1 , П 2 , П 3 и П 4 . Организация производства характеризуется следующей таблицей:

Составьте план выпуска продукции, обеспечивающий хозяйству максимальную прибыль.

Задача 7.

Цех выпускает трансформаторы двух видов. Для изготовления трансформаторов обоих видов используются железо и проволока. Общий запас железа – 3 тонны, проволоки – 18 тонн. На один трансформатор первого вида расходуются 5 кг железа и 3 кг проволоки, а на один трансформатор второго вида расходуются 3 кг железа и 2 кг проволоки. За каждый реализованный трансформатор первого вида завод получает прибыль 3 д.е., второго – 4 д.е.

Составьте план выпуска трансформаторов, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

Задача 8

Совхоз отвел три земельный массива размером 5000, 8000 и 9000 га на посевы ржи, пшеницы, кукурузы. Средняя урожайность в центнерах на 1 га по массивам указана в следующей таблице:

За 1 центнер ржи совхоз получает 2 д.е., за 1 центнер пшеницы – 2,8 д.е., за 1 центнер кукурузы – 1,4 д.е. Сколько гектаров и на каких массивах совхоз должен отвести на каждую культуру, чтобы получить максимальную выручку, если по плану он обязан сдать не менее 1900 тонны ржи, 158 000 тонны пшеницы и 30 000 тонн кукурузы?

Задача 9

Из трех продуктов – I, II, III составляется смесь. В состав смеси должно входить не менее 6 ед. химического вещества А, 8 ед. – вещества В и не менее 12 ед. вещества С. Структура химических веществ приведена в следующей таблице:

Составьте наиболее дешевую смесь.

Задача 10

В школе проводится конкурс на лучшую стенгазету. Одному школьнику дано следующее поручение:

купить акварельной краски по цене 30 д.е. за коробку, цветные карандаши по цене 20 д.е. за коробку, линейки по цене 12 д.е., блокноты по цене 10 д.е.;

красок нужно купить не менее трех коробок, блокнотов – столько, сколько коробок карандашей и красок вместе, линеек не более пяти. На покупки выделяется не менее 300 д.е.

В каком количестве школьник должен купить указанные предметы, чтобы общее число предметов было наименьшим?

Задача 11

Имеются три специализированные мастерские по ремонту двигателей. Их производственные мощности равны соответственно 100, 700, 980 ремонтов в год. В пяти районах, обслуживаемых этими мастерскими, потребность в ремонте равна соответственно 90, 180, 150, 120, 80 двигателей в год. Затраты на перевозу одного двигателя из районов к мастерским следующие:

Спланируйте количество ремонтов каждой мастерской для каждого из районов, минимизирующее суммарные транспортные расходы.

Задача 12

Нефтеперерабатывающий завод получает четыре полуфабриката: 400 тыс. л алкилата, 250 тыс. л крекинг-бензина, 350 тыс. л бензина прямой перегонки и 100 тыс. л изопентона. В результате смешивания этих четырех компонентов в разных пропорциях образуются три сорта авиационного бензина: бензин А-2:3:5:2, бензин В-3:1:2:1, бензин С-2:2:1:3. Стоимость 1 тыс. л указанных сортов бензина характеризуется числами 120 д.е., 100 д.е., 150 д.е.

Составьте план выпуска разных сортов авиационного бензина из условия получения максимальной стоимости всей продукции.

Задача 13

Для участия в соревнованиях спортклуб должен выставить команду, состоящую из спортсменов I и II разрядов. Соревнования проводятся по Буге, пряжкам в высоту, прыжкам в длину. В беге должны участвовать 5 спортсменов, в прыжках в длину – 8 спортсменов, а в прыжках в высоту – не более 10. количество очков, гарантируемых спортсмену каждого разряда по каждому виду, указано в таблице:

Распределите спортсменов в команды так, чтобы сумма очков команды была наибольшей, если известно, что в команде I разряд имеют только 10 спортсменов.

Задача 14

Звероферма выращивает черно-бурых лисиц и песцов. На звероферме имеется 10 000 клеток. В одной клетке могут быть либо 2 лисицы, либо 1 песец. По плану на ферме должно быть не менее 3000 лис и 6000 песцов. В одни сутки необходимо выдавать каждой лисе корма – 4 ед., а каждому песцу – 5 ед. Ферма ежедневно может иметь не более 200 000 единиц корма. От реализации одной шкурки лисы ферма получает прибыль 10 д.е., а от реализации одной шкурки песца – 5 д.е.

Какое количество лисиц и песцов нужно держать не ферме, чтобы получить наибольшую прибыль?

Задача 15

Имеются два элеватора, в которых сосредоточено соответственно 4200 и 1200 тонн зерна. Зерна необходимо перевезти трем хлебозаводам в количестве 1000, 2000 и 1600 тонн каждому. Расстояние от элеватора до хлебозавода указано в следующей таблице:

Затраты на перевозку 1 тонны продукта на 1 км составляют 25 д.е. Спланируйте перевозки зерна из условия минимизации транспортных расходов.

Задача 16

Из двух сортов бензина образуются две смеси – А и В. Смесь А содержит Бензина 60% 1-го сорта и 40% 2-го сорта; смесь В – 80% 1-го сорта и 20% 2-го сорта. Цена 1 кг смеси А – 10 д.е., а смеси В – 12 д.е.

Составьте план образования смесей, при котором будет получен максимальный доход, если в наличии имеется бензин 50 т 1-госорта и 30 т второго сорта.

Задача 17

Имеются две почвенно-климатические зоны, площади которых соответственно равны 0,8 и 0,6 млн. га. Данные об урожайности зерновых культур приведены в таблице:

Определите размеры посевных площадей озимых и яровых культур, необходимые для достижения максимального выхода продукции в стоимостном выражении.

Задача 18

На заводе выпускают изделия четырех типов. От реализации 1 ед. каждого изделия завод получает прибыль соответственно 2, 1, 3, 5 д.е. На изготовление изделий расходуются ресурсы трех видов: энергия, материалы, труд.

Данные о технологическом процессе приведены в следующей таблице:

Спланируйте производство так, чтобы прибыль от их реализации была наибольшей.